师：同学们好，今天我们要学习第20章第二节数据离散程度的应用第7课时。首先，我们回顾上节课内容。
师：什么是方差呢？如果一组数据$X_1$，$X_2$，……，$X_n$，它们的平均数是$\overline{x}$，我们把$s^2 = \frac{1}{n}[(X_1 - \overline{x})^2 + (X_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (X_n - \overline{x})^2]$叫做这组数据的方差。从公式可知，计算方差，要先算出这组数据的平均数，再代入方差公式运算。
师：那一组数据的方差与离散程度有怎样的关系呢？方差是衡量一组数据离散程度的特征数。方差越大，数据离散程度越大；方差越小，数据离散程度越小。
师：在实际问题中，总体个体数常很多甚至无限，无法一一考察，有的抽取个体实验还具破坏性，如灯泡使用寿命实验，抽取个体不能太多。所以，统计中一般从总体抽取样本，通过分析样本数据估计、推测总体情况，这就是用样本估计总体的基本思想。与用样本平均数估计总体平均数一样，我们常用样本方差估计总体方差。请看例1。
师：为比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取5块相同条件的试验田，称得每公顷产量如下表。问题一，哪个品种平均每公顷产量较高？问题二，哪个品种产量较稳定？
师：由于甲、乙新品种产量个体数太多，无法一一考察，所以通过比较试验田产量及稳定性，来估计这一地区的产量及稳定性，也就是用样本平均数和方差估计总体平均数和方差。
师：先解决第一个问题，哪个品种平均每公顷产量较高？把甲、乙在试验田的产量各组成一个样本，用样本平均数估计总体平均数，判断哪个品种平均产量高。先计算甲组数据平均数，$\overline{x}{甲} = \frac{1}{5}×(12.6 + 12 + 12.3 + 11.7 + 12.9) = 12.3$吨。同样，$\overline{x}{乙} = \frac{1}{5}×(12.3 + 12.3 + 12.3 + 11.4 + 13.2) = 12.3$吨。$\overline{x}{甲} = \overline{x}{乙}$，即两个样本平均数相等。用样本平均数估计总体平均数，可得甲乙两个品种平均每公顷产量一样。
师：再看第二个问题，哪个品种产量更稳定？产量稳不稳定与数据离散程度有关，所以分别计算两个样本方差，用样本方差估计总体方差，判断哪个品种产量更稳定。前面已算出两组数据平均数，现在代入方差公式。$s_{甲}^{2} = \frac{1}{5}×[(12.6 - 12.3)^2 + (12 - 12.3)^2 + \cdots + (12.9 - 12.3)^2] = 0.18$。类似的，$s_{乙}^{2} = \frac{1}{5}×$（乙组数据减去平均数的平方之和）$ = 0.324$。$s_{甲}^{2} \lt s_{乙}^{2}$，即甲的方差小于乙的方差，用样本方差估计总体方差，可知甲品种产量更稳定。请看练习。
师：一、考察某玉米品种时，农科所从一块试验田随机抽取15株玉米，称得各株产量如屏幕所示。由此估计这块试验田每株玉米产量的方差是多少？因为试验田玉米株数多，难以一一考察，所以通过计算抽取样本的方差来估计总体方差，体现样本估计总体的统计思想。
师：计算方差，先求这组数据的平均数。$\overline{x} = \frac{1}{15}×$（这15个数相加）$ = 0.152$千克。把平均数代入方差公式，$s^2 = \frac{1}{15}×[(0.25 - 0.152)^2 + (0.16 - 0.152)^2 + \cdots + (0.10 - 0.152)^2] \approx 0.0014$千克2。用样本方差估计总体方差，可估计这块试验田每株玉米产量方差约为$0.0014$千克2。
师：请看练习二，从甲、乙两名工人生产的同一种零件中各随机抽取4个，量得直径如屏幕所示。说明谁做的零件直径差异较小？判断零件直径差异，需计算方差衡量数据离散程度。因很难知道甲乙生产的所有零件直径，所以通过样本方差估计总体方差进行比较。
师：计算方差，先分别求平均数。$\overline{x}{甲} = \frac{1}{4}×$（这四个数相加）$ = 10.00$毫米。同样，$\overline{x}{乙} = \frac{1}{4}×$（乙生产的四个零件直径之和）$ = 10.00$毫米。把平均数代入方差公式，甲组数据方差$s_{甲}^{2} = \frac{1}{4}×$（甲组每一个数据与平均数差的平方之和）$ = 0.0002$毫米2。同样，乙组数据方差$s_{乙}^{2} = \frac{1}{4}×$（乙组四个数据分别与平均数差的平方之和）$ = 0.00045$毫米2。
师：$s_{甲}^{2} \lt s_{乙}^{2}$，用样本方差估计总体方差，可知甲做的零件直径差异较小。在实际生活中，决策类问题既要看平均成绩，又要看方差大小，还要分析变化趋势，综合分析后科学决策。
师：请看例2，为助力新冠肺炎疫情后经济复苏，天天快餐公司复工复产。现有A、B两家农副产品加工厂推销鸡腿，价格相同、品质相近，公司通过检查质量确定选购哪家。检查人员从两家分别抽取100个鸡腿，再各随机抽取10个记录质量如下表。问题一，求A加工厂10个鸡腿质量的中位数、众数和平均数。问题二，估计B加工厂100个鸡腿中质量为75克的鸡腿有多少个？问题三，若公司希望鸡腿质量波动小，应选购哪家加工厂的鸡腿？