师：同学们好，前几节课我们一起学习了必修5第三章不等式的相关知识，今天由我带领大家复习本章内容。和相等关系一样，不等关系也是自然界中存在的基本数量关系，在数学研究和应用中有着重要作用。我们常用轻与重、高与矮、大与小、不多于或不少于等来描述客观事物在数量上的不等关系。比如，我的身高是165厘米，小明的身高是175厘米，小明比我高。在数学上，我们通常用不等式描述这种不等关系，即175＞165。为更好地研究不等式，我们需要了解不等式的性质。
首先，关于实数a、b大小的比较有以下事实：a - b是正数，等价于a＞b；a - b = 0，等价于a = b；a - b是负数，等价于a＜b。由此可知，比较两个实数的大小，可以考察它们的差，这也是研究不等关系的出发点。
为更深入研究不等式，本节介绍了不等式的8条基本性质：
性质一：a＞b，等价于b＜a。
性质二：a＞b，b＞c，可以推出a＞c。
性质三：如果a＞b，那么a + c＞b + c，这是不等式移项法则的依据。
性质四：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc。也就是说，在不等式两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向；同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向。
性质五：如果a＞b，c＞d，那么a + c＞b + d，即两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向。这一性质可推广到任意有限个同向不等式相加，所得不等式依然与原不等式同向。
性质六：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd，即两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向。这一性质也可推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向。
性质七：如果a＞b＞0，那么a的n次方＞b的n次方，这里n可以取大于等于2的任意自然数。
性质八：如果a＞b＞0，那么n次根号下a＞n次根号下b，这里n也可以取大于等于2的任意自然数。
这8条不等式的基本性质是进一步研究不等式的重要依据。来看一个例题，已知a + b＜0，且a＞0，下面四个选项中哪一个正确呢？
四个选项比较的是a2、b2和 - ab三者之间的关系，我们可以两两比较。比如先比较a2与 - ab的关系，用做差法则：a2 -（ - ab） = a（a + b）。由题设条件，a + b＜0，a＞0，所以a2＜ - ab。同理，比较b2与 - ab的大小，做差可得b2 -（ - ab） = b（a + b）。由题设a + b＜0，a＞0，所以b＜0，两个负数相乘为正数，即b（a + b）＞0，所以b2＞ - ab。综上，a2＜ - ab＜b2，本题正确选项是a。
当然，有的同学可能选择比较a2和b2，通过推理也能得到a2＜b2，但选用a2和b2最后可能要多做一次比较。除用作差法，我们也可直接利用不等式的性质来比较大小。比如比较a2与 - ab的大小，先比较a与 - b的大小，由a + b＜0，利用不等式性质三，在不等式左右两边同加上 - b，得到a＜ - b，又因为a＞0，再利用不等式性质，在不等式两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向，就可得a2＜ - ab。同理，比较b2与 - ab的大小，从a + b＜0出发，在不等式两边同加上 - a，利用不等式性质三得到b＜ - a，又因为b＜0，在不等式两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向，得到b2＞ - ab，依旧可得a2＜ - ab＜b2。
在学习了不等式的基本事实和性质之后，本章重点研究了三种不等式类型：一元二次不等式、二元一次不等式及不等式组和基本不等式。下面从一元二次不等式开始复习。
初中阶段我们就知道函数、方程、不等式联系密切，可以利用函数研究方程与不等式的相关问题。以一次函数y = ax + b（a＞0）为例，画出其函数图像，它对应的方程ax + b = 0的根，就是函数图像与x轴交点的横坐标，即x? = - b / a。相应不等式ax + b＞0的解集，表示对应函数在x轴上方对应的x的取值范围，即x＞ - b / a；不等式ax + b＜0的解集，就是函数图像在x轴下方所对应的x的取值范围，即x＜ - b / a。
同样，我们可以利用二次函数的图像来研究一元二次不等式的解集。以y = ax2 + bx + c（a＞0）的函数图像为例，判别式的符号会影响函数的零点情况，所以需分类讨论：
当Δ＞0时，函数与x轴有两个交点，对应方程ax2 + bx + c = 0的根，即图像与x轴交点的横坐标，用求根公式可得x = （ - b ± √Δ） / （2a）。对应不等式ax2 + bx + c＞0的解集，是二次函数图像在x轴上方部分所对应的x的取值范围，即x＜x?或x＞x?；不等式ax2 + bx + c＜0的解集，对应的是函数图像在x轴下方部分所对应的x的取值范围，即x?＜x＜x?。
当Δ = 0时，函数与x轴只有一个公共点，对应方程有两个相等的实数根，即x? = x? = - b / （2a）。对应不等式ax2 + bx + c＞0的解集是x ≠ - b / （2a），小于0的解集是空集。
当Δ＜0时，函数图像恒在x轴上方，此时对应的方程没有实数根。对应的ax2 + bx + c＞0这个不等式的解集是R，小于0的解集是空集。
复习了一元二次不等式解集的相关情况后，来看一道例题，请解下列不等式。解不等式相当于求这个不等式的解集，求出x的取值范围后，最后结果写成区间或集合的形式。
第一小题是一元一次不等式，可直接利用不等式的性质求解。利用不等式性质三，在左右两边同加上3，得到2x＞3；再利用不等式性质四，在左右两边同乘以正数1 / 2，得到x＞3 / 2，所以原不等式的解集是（3 / 2， + ∞）。也可利用对应一次函数的图像求解，令y = 2x - 3，画出一次函数图像，不等式2x - 3＞0的解集，就是函数图像在x轴上方部分所对应的x的取值范围。由图像可知，当x＞3 / 2时，y＞0，所以原不等式的解集是（3 / 2， + ∞）。