师：同学们好，很高兴和大家一起走进今天的数学课堂。今天我们要学习的是北师大版八年级上册第五章二元一次方程组第二节求解二元一次方程组的第二课时。
之前我们学过，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，把二元一次方程组化为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。解方程组的基本思路就是消元，把二元变为一元。用代入法解二元一次方程组，步骤如下：首先在已知方程组的两个方程中，选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；然后代入消元，把变形后的式子代入没有变形的另一个方程中，得到一个一元一次方程；接着求解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；再进行回代求解，把求得的未知数的值带回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程（一般代入变形后的方程），求得另一个未知数的值；最后写解，把方程组的解表示出来。还可以口算或在草稿纸上笔算检验，即把求得的解代入到每一个方程中，看等式是否成立。
那下面我们来看这道题怎么解。给出这样一个二元一次方程组，同学们看到它肯定都有自己的思路了，那如何求解呢？这里我给出三位同学的思考思路。
小明同学的想法是把方程（2）变形得(x = \frac{5}{2}y - 11)，再代入方程（1）就可以消去(x)。看解题过程：解，把方程（2）变形得(x = \frac{5}{2}y - 11)，记为（3）式。把（3）式代入方程（1）得(3(\frac{5}{2}y - 11) + 5y = 21)，解得(y = 3)。把(y = 3)代入方程（2），得(x = 2)，所以原方程组的解为(x = 2)，(y = 3)。这个思路就是首先将方程（2）进行变形，用含有(y)的代数式表示(x)，从而进行代入消元。这是我们上节课学习的内容，但是我们用含有(y)的代数式表示(x)时，出现了分母。
再看第二位同学晓亮的想法。把方程（2）变形得(y = \frac{2x + 11}{5})，这里我们将(5y = 2x + 11)进行整体代入，利用整体的思想把(5y)看成一个整体。看解题过程：解，由方程（2）得(5y = 2x + 11)，记为（3）式，把(5y)当作整体，将（3）式代入方程（1）得(3x + (2x + 11) = 21)，解得(x = 2)。把(x = 2)代入（3）式，得(y = 3)，所以原方程组的解为(x = 2)，(y = 3)。小亮同学通过变形、代入消元、回代求解、写解一系列过程，求出了这个二元一次方程组的解。
此时小丽同学发现这个方程组中正(5y)与负(5y)互为相反数，可以将两式相加消去(y)。我们知道解二元一次方程组的基本思路是将二元转化为一元，从而进行消元。思考一下，根据小丽同学的思路，能不能消去一个未知数呢？这里的(5y)和(-5y)的系数互为相反数，如果将两式加起来，(y)就被消去了。看动画过程：方程（1）的左边加方程（2）的左边等于方程（1）的右边加方程（2）的右边。看解题过程：解，根据等式的基本性质，方程（1）加方程（2）得(5x = 10)，解得(x = 2)。把(x = 2)代入方程（1）得(y = 3)，所以原方程组的解为(x = 2)，(y = 3)。我们利用两式相加消去一个未知数，然后把这个二元一次方程组的解求出来。这种思路就是我们今天要学习的加减消元法。方法总结一下，当含有一个未知数的项的系数互为相反数时，可以把两个方程的两边相加，从而进行消元。
接着看下一个方程，观察这个方程有怎样的特征。类比上一题，你认为可以怎样解？方程（1）（2）中未知数(x)的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数(x)。看动画过程，方程（2）的左边减去方程（1）的左边，等于方程（2）的右边减去方程（1）的右边。解题过程：解，方程（2） - 方程（1）得(8y = -8)，解得(y = -1)。把(y = -1)代入方程（1）得(2x + 5 = 7)，解得(x = 1)，所以方程组的解为(x = 1)，(y = -1)。在我们进行加减消元时，为了消去未知数(x)，我们用方程（2）减去方程（1）。有同学会问，能否用方程（1）减去方程（2）消去未知数(x)求得(y)呢？当然是可以的。如果用方程（1）减方程（2），我们会得到(-8y = 8)，(y)的系数是一个负数，而我们做两式相减时，优先选择用较大数减去较小数。方法总结，当含同一个未知数的项的系数相等时，把两个方程的两边分别相减。概念形成，通过两式相加或相减消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。基本思路是通过二元转化为一元，然后再代入求解。
练习用加减消元法解下列方程组。
第一小题，(\begin{cases}5x - 2y = 9 &(1)\5x + y = 3 &(2)\end{cases})
解：方程（2） - 方程（1）得(3y = -6)，解得(y = -2)。把(y = -2)代入方程（1）得(5x + 4 = 9)，解得(x = 1)。所以原方程组的解为(x = 1)，(y = -2)。
第二题，(\begin{cases}3x + y = 8 &(1)\2x - y = 7 &(2)\end{cases})
解：方程（1） + 方程（2）得(5x = 15)，解得(x = 3)。把(x = 3)代入方程（1）得(9 + y = 8)，解得(y = -1)。所以原方程组的解为(x = 3)，(y = -1)。
前面这些方程组有什么特点？解这类方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些特点？有一个未知数的系数绝对值相同。基本思路是加减消元。主要步骤是将二元转化为一元。
看问题情境，(\begin{cases}2y + 3z = -4 &(1)\5y + 6z = -7 &(2)\end{cases})，可不可以直接进行加减消元？不可以。未知数的系数有何特点？(z)的系数是倍数关系，方程（1）中(z)的系数是(3)，方程（2）中(z)的系数是(6)。如何使(z)的系数变为相等或互为相反数呢？可以将方程（1）中(z)的系数(3)乘以(2)就得到了(6)，那么(z)的系数就相等了。看解题过程：解，方程（1）乘以(2)得(4y + 6z = -8)，记为（3）式。方程（2） - 方程（3）得((5y + 6z) - (4y + 6z) = -7 - (-8))，解得(y = 1)。求解，将(y = 1)代入方程（1）得(2×1 + 3z = -4)，解得(z = -2)，所以原方程组的解为(y = 1)，(z = -2)。
看例题，解下列二元一次方程组(\begin{cases}2x + 3y = 12 &(1)\3x + 4y = 17 &(2)\end{cases})
思考(x)、(y)的系数既不相同也不是相反数，有没有办法用加减消元？思考能否使两个方程中(x)或(y)的系数相等或相反呢？对于当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件。
请同学们思考一下，这两个方程中含有(x)的项的系数是(2)和(3)，含有(y)的项的系数是(3)和(4)，它们既不相等，也不互为相反数，也没有倍数关系。想要使含有(x)的项或(y)的项的系数相等或互为相反数，可以让含有(x)的项的系数变为(6x)，这里的(6)就是(2)和(3)的最小公倍数。