师：同学们，大家好！今天我们一起学习初中数学北师大版八年级上册第二章第一节《认识无理数》第二课时。请同学们准备好草稿纸和计算器，下面开始我们今天的学习。首先，复习回顾。同学们，我们学过不计其数的数，概括起来，在小学阶段和七年级都学过哪些数呢？在小学时，我们学过自然数、小数还有分数。在七年级时，我们发现这些数不够用了，进而引入了负数，这样我们把数的范围扩充到有理数的范围。那么有理数包括哪些数呢？
生：有理数包括整数和分数，整数分为正整数、负整数和0，比如 -1、0、23都是整数。分数包括正分数和负分数，比如 -1/3，20/5，9/11都是分数。
师：上节课我们学习了一些数，如a2 = 2、b2 = 5中的a、b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是多少呢？下面我们继续以正方形为例来探究这些数。探究一：面积为2的正方形的边长a是多少呢？
如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
生：观察图形，我们发现面积为2的正方形的边长比1大，但是比2小，因此三个正方形边长大小关系为1 < a < 2。
师：2. 边长a的整数部分是几？十分位、百分位、千分位呢？同学们可以借助计算器进行探索。
生：从上面的图形我们发现a大于1，小于2，所以a的整数部分是1。接下来借助计算器探索a的小数部分。小明将他的探索过程整理如下，我的结果和他类似。观察这个表格，左边是边长a的取值范围，右边是面积S的计算结果。当a大于1小于2时，面积S在1和4之间。当a大于1.4小于1.5时，面积S在1.96和2.25之间，此时a的十分位应该取4。当a大于1.41小于1.42时，面积S在1.9881和2.0164之间，此时a的百分位应该取1。当a大于1.414小于1.415时，面积S在1.999396和2.0025之间，此时千分位应该取4。当千分位取4的时候，得到的面积S为1.999396，比2要小，说明还应该有万分位。表格的最后一行，当万分位为2时，S比2小，当万分位为3时，S比2要大，说明万分位后面还有小数位数，因此a还可以再继续算下去。
师：既然a可以继续算下去，那么a可能是有限小数吗？同学们可以继续探索。事实上，a = 1.41421356……，它是一个无限不循环小数。接下来请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值，结果精确到0.1，并用计算器验证你的估计。精确到0.1，我们要先保留两位小数，再四舍五入。
生：通过计算，我们发现2.232 = 4.9729，2.242 = 5.0176，而5.0176大于5，我们要对2.23保留一位小数，所以b约等于2.2。
师：如果结果精确到0.01，同学们继续用计算器进行探索。
生：通过计算，我们发现2.2362 = 4.999696，2.2372 = 5.004169，而5.004169比5要大，所以我们对2.236保留两位小数，所以b约等于2.24。事实上，如果我们继续算下去，b = 2.236067978……，它是一个无限不循环小数。
师：下面我们来研究一下有理数的特点。试着把下列个数表示成小数，你发现了什么？3，4/5，5/9， -8/45，2/11。
生：通过计算，我们发现，3 = 3.0，4/5 = 0.8，5/9 = 0.55……（5循环）， -8/45 = -0.177……（7循环），2/11 = 0.1818……（18循环）。从计算结果我们发现，这些数表示成小数时，小数的位数是有限的或者是无限循环的。
师：如果把一个有理数化成小数，最终此小数的形式有几种情况呢？像第一问出现的几个数都是有理数，同学们也可以自己写几个有理数，把它化成小数的形式。
生：最后我们发现有理数表示成小数时，有有限小数或无限循环小数两种形式。
师：事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示，反过来，有限小数和无限循环小数也都是有理数。像前面出现的a和b都是无限不循环小数，我们把无限不循环小数称为无理数。除了像上面所述的数a、b是无理数外，圆周率π = 3.14159265……也是一个无限不循环小数，因此它也是无理数。再如0.5858858885……（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是无理数。
根据无理数的概念，无理数也是小数，我们可以从小数的观点来理解无理数。首先小数位数是无限的，并且它是不循环小数，两者缺一不可。下面我们来总结一下常见的无理数的几种类型。
生：根据无理数的概念，常见的无理数的几种类型有：一般的无限不循环小数，如1.41421356……后面小数无限不循环；有规律但不循环的数，如1.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；某些含有π的数，如2π。
师：下面请同学们思考，你还能找到其他的无理数吗？请举例说明。
生：如π - 3，0.9898898889……（相邻两个9之间8的个数逐次加1）。
师：到这里，相信同学们对无理数有了一定的认识，下面我们来比较一下有理数和无理数的区别。
无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
有理数可以化为分数，无理数不能化为分数。
了解了有理数和无理数的区别，同学们能准确地区分有理数和无理数吗？下面我们来看一个例题。
例1：下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？3.14， -4/3，0.5757……（57循环），0.1010001000001……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。
生：第一个数3.14是一个有限小数；第二个数 -4/3是一个分数；第三个数0.5757……（57循环）是一个无限循环小数，它们都是有理数。即有理数有3.14， -4/3，0.5757……（57循环），而第四个数是一个无限不循环小数，它是无理数。
师：例2：判断题
有限小数是有理数。
生：因为有理数可以表示成有限小数或无限循环小数，所以这种说法是正确的。
师：2. 无限小数都是无理数。
生：因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，而无限循环小数是有理数，所以这种说法是错误的。
师：3. 无理数都是无限小数。
生：根据无理数的定义可知，无理数是无限不循环小数，所以这种说法是正确的。
师：4. 有理数都是有限小数。
生：因为无限循环小数也是有理数，所以这种说法是错误的。
师：例3：已知直角三角形的两直角边长分别是4和5，则这个直角三角形的斜边长度
A. 在4和5之间
B. 在5和6之间
C. 在6和7之间
D. 在7和8之间
生：在直角三角形中，根据勾股定理，斜边的平方等于42 + 52 = 16 + 25 = 41，而62 = 36，72 = 49。41在36和49之间，所以斜边的长度在6和7之间，选择C选项。
师：接下来我们通过练习来巩固一下所学的知识点。
练习1：下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？0.458，3.77……（7循环）， -π， -1/7，18，π + 2。
生：第一个数0.458是有限小数；第二个数3.77……（7循环）是无限循环小数；第四个数 -1/7是分数；第五个数18是整数。它们都是有理数，所以有理数有0.458，3.77……（7循环）， -1/7，18。而第三个和第六个数是一些由π组成的数，它们都是无理数，所以无理数有 -π，π + 2。
师：练习2：把下列个数填在相应的括号内。π/2， -| -3|， -1/3，0，22/7， -3.11……（1循环），1.1010010001……（两个1之间依次多一个0）。
生：第一个数虽然是分数形式，但分子含有π，所以它是无理数；第二个计算结果是 -3，它是整数；第三个数是分数；第四个0是整数；第五个22/7是分数；第六个 -3.11……（1循环），它可以表示成分数形式，所以它是分数；最后一个是无限不循环小数，所以它是无理数。
师：从练习题中我们巩固了常见的几种无理数的类型，相信同学们一定能准确地分辨一个数是有理数还是无理数。在实际生活中，有时我们也能遇到无理数。某小区有一块长为8米、宽为4米的长方形草坪，计划在草坪面积相同的情况下，把它改造成一个正方形。如果改造后的正方形草坪的边长为x米，求正方形的边长精确到0.1。
生：本题中计算正方形的边长，可以从正方形的面积入手。改造前和改造后的面积相同，所以正方形草坪的面积就是原来长方形草坪的面积，是32。解，根据题意得，x2 = 8×4，即x2 = 32。因为找不到一个有理数的平方为32，所以x是无理数。下面我们来求这个无理数大致在什么范围内。因为52 < 32 < 62，精确到0.1要先计算到两位小数，而5.62 = 31.36，5.72 = 32.49，32在31.36和32.49之间。计算到百分位，我们发现5.652 < 32 < 5.662，因此我们对5.65保留一位小数，所以x约等于5.7。
答：正方形的边长约为5.7米。
师：以上就是本节课的主要内容。通过本节课的学习，你有哪些收获？
生：本节课我们主要学习了无理数的概念，无限不循环小数是无理数。常见的无理数类型有一般的无限不循环小数，某些特定的不循环小数，一些含有π的数。我们还学习了有理数和无理数的区别。无理数是无限不循环小数，而有理数是有限小数或无限循环小数。有理数可以化为分数，但无理数不能化为分数。我们在识别无理数的时候，关键是看它能不能写成无限不循环小数。
师：请看今天的作业。必做题：课本25页习题2.2第一、二、三个小题。选做题：阅读课本24页“读一读”。课后自己搜集一些关于无理数的数学故事。本节课到此结束。同学们，再见！