师：亲爱的同学，上一节课我们学习了如何测量距离和角度问题，实际上这些问题都可转化为已知三角形的一些边和角，求其余边的问题。今天我们继续研究解三角形的应用，举例探讨如何测量角度问题。今天这节课，我们的学习目标主要有以下三条：一、能够根据题意画出相应的几何图形；二、在相似的情境中，学会把实际问题转化为解三角形问题；三、能够运用正弦定理解决简单的角度问题。今天我们通过几个具体的实例来一起研究如何测量角度问题。请看例一，如图所示，两座灯塔A和B与海岸观测站C的距离相等，灯塔A在观测站南偏西40度的方向，灯塔B在观测站南偏东60度的方向，则灯塔A在灯塔B的什么方向？
首先我们分析已知条件。第一个条件，灯塔A、B与观测站C距离相等，也就是CA = CB，所以我们可以得到∠CAB = ∠CBA。第二个条件，灯塔A在观测站C南偏西40度的方向，所以我们把C点定为观测点，也就是∠DCA = 40度。第三个条件，灯塔B在观测站C南偏东60度的方向，也就是∠DCB = 60度。
接下来分析所求。要求灯塔A在灯塔B的什么方向，此时我们可以把B点定为观测点，也就是如果可以求出∠FBA的大小，就能得到结论。要求∠FBA的大小，也就是要求∠ABE的大小，因为这两个角互余。要求∠ABE的大小，只要把∠ABC计算出来即可。因为在直角三角形CEB当中，∠CBE = 30度。由刚才的已知条件可以推出∠ABC = 40度。因为∠ACB = 40 + 60 = 100度，在三角形中，内角和等于180度，所以可以推出∠A + ∠B = 80度。又因为∠A = ∠B，所以∠ABC = 40度。进一步可以推出∠ABE = 40 - 30 = 10度，此时我们可以求出∠FBA = 80度。由此我们得出结论，灯塔A在灯塔B南偏西80度的方向。
通过例一的求解过程，我们一起归纳总结一下画示意图的基本步骤：一、找准观测点，并根据上北下南、左西右东的原则确定正北方向；二、做出被观测物体的位置示意图；三、标出有关的角和线段的大小。接下来我们看今天的第二道问题，甲从A处出发，沿北偏东60度的方向行走3√3公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处。现在问A、C两地的距离为多少公里？我们一起分析一下试题相关的条件，尝试画出示意图。
甲从A出发，我们把A点定为观测点，AD作为正北方向，沿着北偏东60度的方向行走3√3公里到B处，也就是∠DAB = 60度，AB = 3√3。再沿正东方向行走2公里到C处，也就是BC = 2。此时要求A、C的距离。在三角形ABC当中，要求A、C的距离，只需要把∠B的大小计算出来，使用余弦定理即可。要计算∠B的大小，也就是要计算出∠ABE的大小。由内错角相等可知∠ABE = 60度，所以此时∠B = 60 + 90 = 150度。在三角形ABC当中代入余弦定理，代入相关的数值，我们可以计算出AC的长度为7公里。实际上我们也可以通过B点作AD的高，垂足为F。在直角三角形AFB当中，因为∠FAB = 60度，所以∠ABF = 30度。∠ABF与∠ABC互补，所以我们也可以推出∠ABC = 150度，以下的计算方法相同。
通过例一的求解过程，我们发现求解与角度有关的问题时需要注意：一、首先明确题中所给各个角的含义，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是很关键的一步；二、将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正余弦定理解决问题。下面请看我们今天的第三个问题。在海岸A处发现北偏东45度的方向距A处√3 - 1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75度的方向，距A处2海里的C处有一艘缉私船。
我们看第一个问题，根据题意画出示意图。在海岸A处，所以我们把A点定为观测点，AD作为正北方向。北偏东45度方向，距A处√3 - 1海里，这两个关键词我们可以在示意图上表示为：∠DAB = 45度，AB的长度等于√3 - 1。在A处北偏西75度的方向，距A处2海里，也就是∠DAC = 75度，AC = 2。这样我们就把示意图画出来了。
有没有同学画出的示意图与我们所做的示意图有区别？有没有画出如下这样的两个示意图？因为我们在画角度与长度的时候不能做出精确的度量，所以画出的示意图也会略有偏差，我们可以通过计算相关的数据，然后再进行修正。这三个图形我们暂时放在一边。接下来请看第二个问题，求出此时缉私船与走私船的距离BC。我们在三角形ABC当中分析一下已知条件，AB边、AC边、∠BAC都已知，所以可以使用余弦定理。BC2 = AB2 + AC2 - 2AB·AC·cosA，代入示意图当中的相关数据，通过计算我们可以得到BC2 = 6，BC = √6，也就是此时缉私船与走私船的距离为√6海里。
接下来请看第三个问题，求出∠ABC的大小。请同学们看一下示意图中红颜色的字体，AB边等于√3 - 1，BC边等于√6，AC边等于2，也就是三角形的三边已知。我们在三角形ABC当中可以使用余弦定理。由余弦定理的推论我们可以得到cosB = （BC2 + BA2 - AC2）÷（2BC·BA），把刚才的三个数据代入，通过计算我们可以得到cosB = √2 / 2。
在三角形ABC当中，所以∠B = 45度。那有没有同学有这样的疑问：在画出的示意图当中，∠BAC = 120度，我们还没有用上。回到三角形ABC当中，三边已知，∠A已知，现在让我们去求∠B的大小，是不是也可以通过正弦定理？所以我们在三角形ABC当中使用正弦定理，AC / sinB = BC / sinA。把公式里面的BC = √6，AC = 2，∠A = 120度这三个数字代入，可以解出sinB = √2 / 2。那在三角形ABC当中，∠B可以等于45度，也可以等于135度，那此题为何135度要舍掉？我们看三角形ABC当中∠A的大小是120度，这是一个钝角三角形，所以只保留∠B = 45度。同学们看一下示意图当中∠B = 45度，∠BAD也等于45度，那么我们可以得到∠ADB = 90度。我们这样的示意图是不是要修正一下？也就是说BC此时与正北方向应该是垂直的。所以我们画出的示意图可以在数据计算的过程当中不断地加以纠正、修改。