师：同学们大家好，欢迎来到数学课堂。我们先来看一段视频。据说古埃及人画直角时，常在一根长绳上打上等距离的13个结，然后以三个节间距、4个节间距、5个节间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
视频中古埃及人得到直角三角形的方法叫做截绳法，这种做法正确吗？如果正确，这种截绳法给出了三角形的哪些条件呢？从图形可以看出，给出了三角形的三边长，分别是3、4、5。那是不是已知三角形的三边长，就可以判断一个三角形为直角三角形呢？带着这个问题，我们来学习本节课的内容。首先回顾一下，我们已经学习了直角三角形有关边的什么性质呢？
生：有勾股定理。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：接下来我们就用已学的知识也来试一试，请同学们做一个三边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的三角形。首先画出线段BC等于3厘米，再以C点为圆心，4厘米的长度为半径画弧；以B点为圆心，5厘米的长度为半径画弧，两弧的交点就是A点，连接AC、AB，得到三角形ABC。还有一位同学，他利用上节课学习的勾股定理，先确定直角和两条直角边来做，请看图2。他的作图也符合要求吗？
生：我们来看这位同学所画的三角形，已经确定两个直角边分别是3厘米、4厘米。显然根据勾股定理可以求出斜边A'B'的长为5厘米，所以他的作图也符合要求。
师：既然两幅图形都符合题目的要求，那么这两个三角形全等吗？
生：很容易得出两个三角形全等，判定的理由是边边边。既然两个三角形全等，那么由三角形A'B'C'是直角三角形，我们可以得出三角形ABC也是直角三角形。
师：通过验证，我们发现三边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的三角形，就是直角三角形。请同学们观察这个三角形的三条边长之间有什么关系？
生：同学们不妨把它们平方看看，我们发现3的平方加4的平方等于5的平方。
师：那么请同学们想一下，三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的三角形，是直角三角形吗？
生：我们先来看看三边长的关系，不妨也把三条边长平方看看。我们得出5的平方加12的平方等于13的平方。通过作图发现它也是直角三角形。
师：结合活动一和活动二，请同学们猜想对于三边长分别为a、b、c的任意三角形，当a、b、c满足什么条件时，这个三角形是直角三角形呢？
生：我们猜想，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
师：科学的结论仅仅靠猜想是不够的，要想说明结论的正确性，还需要进一步证明。首先我们看一看这个命题的题设和结论是什么？
生：题设是三角形两边的平方和等于第三边的平方，结论是三角形是直角三角形。
师：然后我们把它改写成已知求证的形式。已知在三角形ABC中，AB = c，AC = b，BC = a，且a的平方加b的平方等于c的平方。求证三角形ABC是直角三角形。那么如何证明这个命题是真命题呢？能否也像刚才活动一证明边长是3、4、5的三角形是直角三角形那样构造一个直角三角形呢？请同学们思考并动手证明这道题。已知三角形中三边满足a的平方加b的平方等于c的平方，让我们求证三角形ABC是直角三角形。
生：我们联想活动一的作图可以想到构造一个直角边长分别为a、b的直角三角形，利用勾股定理求出斜边长为c，就可以证明三角形A?B?C?全等于三角形ABC，从而得出三角形是直角三角形。具体过程如下：首先作出直角三角形A?B?C?，使角C?等于90度，A?C? = b，B?C? = a。由勾股定理得出A?B?的平方等于a的平方加b的平方，因为a的平方加b的平方等于c的平方，所以A?B?的平方等于c的平方。又因为边长是正值，所以A?B? = c。在三角形ABC和三角形A?B?C?中，因为BC = a = B?C?，AC = b = A?C?，AB = c = A?B?，所以三角形ABC全等于三角形A?B?C?，所以角C = 角C? = 90度，所以三角形ABC是直角三角形。
师：我们的猜想得到了证实，也进一步说明视频中古埃及人的做法是正确的。那么经过推理得到的真命题就叫做定理。如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。它的符号语言是在三角形ABC中，因为a的平方加b的平方等于c的平方，所以三角形ABC是直角三角形，且角C = 90度。那么我们今天学习的这个定理和之前学习的勾股定理有什么关系吗？
生：勾股定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它的题设是三角形是直角三角形，结论是三角形两边的平方和等于第三边的平方。而这个定理的题设是三角形两边的平方和等于第三边的平方，结论是三角形是直角三角形。显然它们的题设和结论互换位置了，所以它们互为逆定理，我们把这个定理称为勾股定理的逆定理。