师：同学们，大家好。在前面的课程中，我们一起学习了证明真命题的直接证明方法。但对于某些数学命题，直接证明可能比较繁琐，甚至无法进行，这时我们就要用到间接证明。这节课，我们就来学习间接证明的一种方法——反证法。
首先，我们来看这样一个例子。例一，将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，大家能证明这个结论吗？下面我们来分析一下，如果用直接证明的方法，就需要把各种染色方法具体列出，再对每种染色方法一一验证，然后归纳得出结论。请同学们尝试用直接证明的方法做一下。
师：下面我们来看直接证明的过程。把9个球染成红色的个数，按照由多到少依次列举并归纳，包括9球全红、8红1白、7红2白、6红3白、5红4白，以此类推，从4红5白直至9球全白，一共10种情况。在前5种情况中，至少有5个红球；在后5种情况中，至少有5个白球。所以，不管是至少5个红球还是至少5个白球，都可以说至少有5个球是同色的，这样就完成了直接证明。
师：注意到在这个问题中，直接证明因为要讨论多种情况，比较麻烦。那么有没有更好的证明方法呢？我们来看例2。已知(x)、(y)大于0，且(x + y)大于2，试证(\frac{1 + x}{y})和(\frac{1 + y}{x})至少有一个小于2。同样，我们先分析一下，将(\frac{1 + x}{y})和(\frac{1 + y}{x})与2比较大小的情况进行分类。第一种情况，两个数都小于2，即(\frac{1 + x}{y} \lt 2)且(\frac{1 + y}{x} \lt 2)；第二种情况，两个数中有一个小于2，另一个不小于2，又可分成两种，(\frac{1 + x}{y} \lt 2)且(\frac{1 + y}{x} \geq 2)，以及(\frac{1 + y}{x} \lt 2)且(\frac{1 + x}{y} \geq 2)；第三种情况是两个数都不小于2，即(\frac{1 + x}{y} \geq 2)且(\frac{1 + y}{x} \geq 2)。在前两大类中，我们称之为至少有一个小于2。如果采用直接证明，情况较多，讨论繁琐，我们不妨考虑至少有一个小于2的反面情况，即两个数都不小于2，这种情况只有一种，讨论起来比较简单。那为什么不能是这种情况呢？如果是这种情况会发生什么呢？同学们思考一下。
师：下面我们来看证明过程。假设(\frac{1 + x}{y})以及(\frac{1 + y}{x})都不小于2，即(\frac{1 + x}{y} \geq 2)且(\frac{1 + y}{x} \geq 2)。因为(x)、(y)都大于0，将(x)和(y)分别乘到对应的不等式右边，根据不等式性质，方向不变，我们会得到(1 + x \geq 2y)以及(1 + y \geq 2x)。再将这两个不等式相加，可得(2 + x + y \geq 2(x + y))。整理变形这个不等式，能得到(x + y \leq 2)。
师：注意到原命题条件中有(x + y)大于2，出现了与条件矛盾的情况。我们回过头看，整个推理过程完全正确，那为什么会出现矛盾呢？原因就在于假设是错误的，所以假设不成立。由此可知，原命题成立，即(\frac{1 + x}{y})和(\frac{1 + y}{x})中至少有一个小于2。以上这种证明方法，我们就称之为反证法。什么是反证法呢？假设命题结论的反面成立，经过正确推理引出矛盾，从而说明假设错误，证明原命题成立，这样的证明方法就叫反证法。下面我们来看反证法的步骤。
师：反证法一共三步。第一步是假设命题结论的反面成立，这一步简称为反设；第二步经过正确推理引出矛盾，引出矛盾实质上是产生了谬误，我们可以概括为归谬；第三步，引出矛盾后，就可以得出假设不成立，进而说明原命题是真命题，这一步简称为存真。
师：搞清楚反证法的步骤后，我们再来看看例2，它分别体现了反设、归谬以及存真。下面我们来解决例一遗留的问题。前面直接证明分类讨论情况较多，我们从结论的反面出发考虑。设同色的球个数为(n)，(n)属于自然数集合。至少有5个球同色，即(n \geq 5)，它的反面情况是(n \leq 4)，也就是至多4个球同色。所以至少有5个球同色的否定就是至多4个球同色，至多4个球同色包括至多4个球染红色和至多4个球染白色，这两种情况同时成立。在这个基础上，我们会推出什么矛盾呢？同学们思考一下。
师：我们一起来看证明过程。第一步反设，假设有某种染法使红色球且白色球的个数都不超过4，即(n_{红} \leq 4)且(n_{白} \leq 4)。接下来进行归谬，即正确推理引出矛盾。由上述分析可知，(n_{红} + n_{白} \leq 8)。但注意到命题条件中球的总数为9，所以出现矛盾，球的总数不应超过8，这与球的总数是9相矛盾。进一步说明假设不正确，所以无论怎样染色，至少有5个球是同色的。最后一步存真。通过例一和例2，我们总结一下含量词“至少”和“至多”的命题，经常采用反证法，第一步反设要求对命题结论做出正确的否定形式。以下是一些常见结论的否定形式：“等于”的否定是“不等于”；“是”的否定是“不是”；“都是”的否定是“不都是”；“大于”的否定是“不大于”；“小于”换个说法，其否定是“大于或等于”；“对所有的(x)成立”的否定为“存在某个(x)不成立”；“任意”对应“某个”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”；“至多有一个”的否定为“至少有两个”；“至少有(n)个”的否定是“至多有(n - 1)个”；“至多有(n)个”的否定为“至少有(n + 1)个”；“对任何(x)不成立”的否定是“存在某个(x)成立”。
师：下面我们来看例3。已知(a \neq 0)，证明(x)的方程(ax = b)有且只有一个根。证明这个问题，我们注意到关键词“有且只有一个根”，“有”需要证明根的存在性，注意到命题条件中有(a \neq 0)，我们可以通过解方程把根求出来，完成存在性证明。另一方面，“只有一个根”即证明根的唯一性。此时看条件(a \neq 0)与根的唯一性联系并不明显，所以证明唯一性直接证明比较困难，我们考虑间接证明，即反证法。使用反证法第一步是反设，要证明根是唯一的，它的反设是什么呢？假设根不唯一会推出什么矛盾呢？同学们思考一下。