师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们来学习人教版八年级第20章第二节数据的波动程度，这是第一课时。首先，我们通过一个数学竞赛选拔的问题开启今天的学习。班级要在小明和小红中选一人参加数学竞赛，选谁呢？这需要根据他们平时的考试成绩来分析。这里有小明和小红五次竞赛的成绩，小明的5次成绩分别为98、99、85、90、88；小红的五次成绩分别为95、93、92、94、86 。根据已学知识，我们可以算出他们的平均数。通过计算发现，两人五次的平均分都是92分。单纯从平均分角度，无法确定谁去参加比赛，也不能确定谁取胜的把握性更大。
那有没有办法确定谁去参赛取胜把握更大呢？带着这个问题，我们开始今天的学习探究，希望通过学习，同学们能解决这个问题。
今天合作探究的内容是：农科院计划在某地选择合适的甜玉米种子，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院关心的问题。为了解甲、乙两种甜玉米种子的情况，农科院用10块自然条件相同的试验田进行试验，得出各试验田每公顷的产量，如下所示：甲种甜玉米在10块试验田中产量分别为7.65、7.50、7.62、7.59、7.6、7.64、7.50、7.40、7.41、7.41；乙种甜玉米在10块试验田中的产量分别为7.55、7.56、7.53、7.44、7.49、7.52、7.58、7.46、7.53、7.49。
根据这些数据，该选哪种甜玉米呢？我们梳理一下信息：第一，农科院选甜玉米的标准是产量和产量的稳定性；第二，共选了10块自然条件相同的试验田进行实验，得出两种甜玉米种子在10块试验田中的产量。
我们回顾一下总体和样本的知识，总体是研究对象的全体，样本是从总体中随机抽取的一部分研究对象。在这里，我们把甜玉米在这个地区的产量看作总体，把甜玉米在这10块试验田中的产量看作抽样样本。在统计学里，我们通过抽样样本情况反映总体，通过甲、乙两种甜玉米种子产量实验的10组数据这个样本，来估算两种甜玉米在这个地区的产量总体。
通过上面两组数据，根据以往知识，我们先算出甜玉米甲的平均产量和乙的平均产量。得出甲的平均产量是7.54吨，乙的平均产量为7.52吨，说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，可以估计这个地区种植两种甜玉米的平均产量相差不大。单纯从平均产量判断甲、乙甜玉米产量好坏已经不行了。
农科院选甜玉米种子的标准除了产量，还要看产量的稳定性。接下来从产量稳定性思考，为更好研究稳定性，我们绘制了它们产量的分布图，左边是甲种甜玉米产量分布图，右边是乙种甜玉米产量分布图，中间红线是产量平均值。
大家观察这两种甜玉米的分布图，甲图中有5个点在平均值上方，5个点在平均值下方，其中3个点比较靠近平均线；乙种甜玉米有5个点在线上或接近线上，3个点比较靠近平均线，2个点离平均线相对较远。是甲种甜玉米产量在平均值上下波动大，还是乙种甜玉米产量在平均值上下波动大呢？很明显，甲种甜玉米产量在平均值上下波动较大，乙种甜玉米产量波动相对较小。那有没有数学知识能反映这种波动呢？这就是本节课要学习的数据的波动。
在统计学里，把衡量一组数据波动大小的量，叫做这组数据的方差，记作(s^{2})。如何求方差呢？求一组数的方差，先求出这组数的平均数(\overline{x})，再求出这组数每个数与平均数的差的平方和，总和除以这组数的个数，即为这组数的方差。比如这组数是(x_{1})，(x_{2})，(x_{3})，…，(x_{n})，先求出平均数(\overline{x})，再用((x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots +(x_{n}-\overline{x})^{2})的总和除以(n)，即方差(s^{2}=\frac{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots +(x_{n}-\overline{x})^{2}}{n}) 。
方差用来衡量一组数据波动大小，即这组数据偏离平均数的程度。方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定。
本节课开始提出，小红和小明二人选一人参加比赛，他们平均成绩相同，说明数学水平差不多，要看考试发挥稳定性高的，派去参赛获奖可能性更大，算出小红和小明5次成绩的方差即可。同学们思考一下方差怎么求？回顾方差概念，用小明5次成绩，每次成绩减去小明平均成绩92的平方，求这5个平方数的和除以5 。
接下来动手算一算，小明成绩分别为98、99、85、90、88，小明成绩方差为(\frac{(98 - 92)^{2}+(99 - 92)^{2}+(85 - 92)^{2}+(90 - 92)^{2}+(88 - 92)^{2}}{5}=30.8)；小红成绩分别为95、93、92、94、86 ，小红成绩方差为(\frac{(95 - 92)^{2}+(93 - 92)^{2}+(92 - 92)^{2}+(94 - 92)^{2}+(86 - 92)^{2}}{5}=10) 。
小明和小红5次成绩平均数相同，小红方差为10，小明方差为30.8，小红方差小，说明小红成绩比小明更稳定。所以选小红去参加比赛，获胜可能性更大。
接下来根据方差公式，我们一起算一算甲、乙两种甜玉米产量的方差，看看哪种产量稳定性更好。已求出甲种甜玉米平均产量为7.54，乙种甜玉米平均产量为7.52 。求甲种甜玉米试验田产量方差，用甲种甜玉米每块产量减去其平均值7.54的平方和，再求平均数。
甲种甜玉米在10块试验田产量分别为7.6、7.50、7.62、7.59、7.65、7.64、7.50、7.40、7.41、7.41 ，其方差为(\frac{(7.6 - 7.54)^{2}+(7.50 - 7.54)^{2}+(7.62 - 7.54)^{2}+(7.59 - 7.54)^{2}+(7.6 - 7.54)^{2}+(7.64 - 7.54)^{2}+(7.50 - 7.54)^{2}+(7.40 - 7.54)^{2}+(7.41 - 7.54)^{2}+(7.41 - 7.54)^{2}}{10}=0.01) 。