师：同学们好，上节课我们学习了多边形。研究数学问题通常由简单到复杂，三角形和四边形是多边形中最简单的。之前我们一起学习了三角形及其相关性质。从本节课开始，我们将学习四边形中较为特殊的平行四边形。通过本节课学习，希望大家能有以下收获：一、理解平行四边形的定义，会正确表示平行四边形；二、探究平行四边形对边对角的性质，会用性质解决简单的平行四边形计算问题并进行有关证明；三、了解两条平行线之间距离的概念及相关结论；四、体会类比和转化的思想，通过平行四边形性质的探究过程，提高由观察、猜想、验证到证明的能力。
请同学们准备好直尺、量角器和作业本，下面开始新课学习。首先来看一组图片，大家能找到图片中的平行四边形吗？我们把其中一些平行四边形标出来，这里还有这里。可见，在我们周围存在着许多平行四边形。数学来源于生活且服务于生活，如果刚才没发现，以后可要仔细观察，世界上并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛。
小学时我们已知道什么是平行四边形，还记得它的定义吗？对，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。知道定义后，我们要学会如何表示平行四边形。先回忆一下三角形是如何表示的。对于一个三角形，我们用抽象出来的三角形符号和三个顶点字母组合表示，比如，这个三角形可记作△ABC，读作三角形ABC。类似地，我们用抽象出来的平行四边形符号和四个顶点字母组合表示平行四边形。如图，这个平行四边形应记作?ABCD，读作平行四边形ABCD。要注意，四个顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次书写，不能随意乱写。
像图中平行四边形的边AB与CD，AD与BC，我们称为对边；角A与角C，角B与角D，我们称为对角。当然，相邻的两条边，比如AB与BC，叫做邻边；相邻的两个角，比如角A与角B叫做邻角。如果连接AC、BD，就得到了平行四边形的两条对角线AC、BD。
好了，请同学们在作业本上画一个平行四边形，用刚学的方法表示出来，并找一找其中的对边和对角分别是什么。下面看看平行四边形定义的几何语言如何描述。由定义可知，两组对边分别平行能得到四边形是平行四边形，可表述为：因为AB平行于CD，AD平行于BC，所以四边形ABCD是平行四边形。反过来，如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边平行，可表述为：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB平行于CD，AD平行于BC。其中一个是平行四边形的判定，另一个是平行四边形的性质。
说到平行四边形的性质，下面我们来探索一下平行四边形有哪些性质。如同研究三角形的性质，先从最基本的边和角入手。首先探索平行四边形中边的关系，研究两条线段关系，要考虑位置关系和数量关系。很明显，平行四边形的邻边既无特殊位置关系，也无特殊数量关系。平行四边形的对边呢？根据平行四边形定义，对边是平行的，那对边还有什么数量关系吗？大家有什么猜想？下面再来看看平行四边形中角的关系，同样先分析邻角，邻角有什么关系呢？请同学们想一想。
由于平行四边形对边平行，根据两直线平行同旁内角互补，可得平行四边形的邻角互补。那对角有什么关系呢？大家又有什么想法？我们可以猜想：平行四边形的对边相等，对角相等。当然，只有猜想不够，一起来验证一下。请同学们用准备好的直尺度量刚才画的平行四边形两组对边长度，看看是否相等，再用量角器度量两组对角是否相等。
度量验证不能说明所有平行四边形对边对角都有这样的关系，还需进一步证明。一起来完成：已知如图，四边形ABCD是平行四边形，求证：AB = CD，AD = BC，∠BAD = ∠BCD，∠B = ∠D。要证明两条线段相等和两个角相等，大家想到什么？前面学习的三角形全等可证明两条线段相等和两个角相等，但平行四边形里没有三角形，怎么办呢？可以添加辅助线构造三角形，最直接的方法是连接平行四边形中不相邻的两个顶点。不妨连接AC，这样就得到两个三角形，这两个三角形全等吗？能找到条件吗？我们来找找。
首先由平行四边形两组对边分别平行，能得到两组内错角相等，即∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，还有公共边AC，根据角边角可证明这两个三角形全等。再根据三角形全等就能得到两组对边相等，两组对角相等也可轻松证明。好了，根据刚才分析，一起来完善证明过程。先交代辅助线做法，由平行四边形定义得到两组对边分别平行，再由平行线性质得到两组内错角相等。下面罗列条件证明三角形全等，根据角边角证明△ABC≌△CDA。再根据全等三角形对应边相等、对应角相等，可得AB = CD，AD = BC，∠B = ∠D，∠BAD = ∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 = ∠BCD。这样结论就出来了，到此猜想被证明，一起总结平行四边形的性质。
性质一：平行四边形的对边相等。性质二：平行四边形的对角相等。平行四边形的性质揭示了平行四边形中边角的关系，可用来证明两条线段相等或两个角相等。运用平行四边形的性质能解决许多平行四边形相关问题。来看下面一道题目：已知如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E。第一问，如果AE = 2，求CD的长。第二问，如果∠AEB = 40°，求∠C的度数。
先来分析第一问，看看题目条件，BE平分∠ABC能得到什么结论？两个角相等，为方便，标上∠1、∠2，即∠1 = ∠2。还能找到图中与∠1或∠2相等的角吗？根据AD、BC平行，内错角相等，可得∠AEB也与∠2相等。通过等量代换，∠AEB = ∠1，再由等角对等边，AB = AE = 2。根据平行四边形对边相等，CD等于它的对边AB，问题解决。
再来看看第二问，求∠C有什么想法？根据平行线性质可以求出来，还有其他想法吗？是的，可以由平行四边形对角相等转化为求∠A。结合第一问，可求出∠AEB = ∠1 = 40°，再根据三角形内角和定理求出∠A。下面规范书写解题过程。
首先根据平行四边形性质，可得AD平行于BC，AB = CD。再根据两直线平行内错角相等，这两个角相等。由BE平分∠ABC得到∠1 = ∠2，等量代换得∠AEB = ∠1。根据等角对等边，AB = AE = 2，CD也就求出来了。通过前面分析，由第一问得∠AEB = ∠1 = 40°。在△ABE中，根据三角形内角和等于180°，可求出∠A = 100°，再由平行四边形对角相等，∠C = ∠A = 100°。从这道题可归纳出一个模型，把平行线和角平分线组合在一起，通过角相等能得到等腰三角形，这在解题时很常见，希望同学们以后解题时多多总结、及时归纳。通过这道例题，可知平行四边形性质在证明两条线段相等和两角相等时很有用，大家掌握了吗？