师：同学们，大家好！今天我们学习初中数学北师大版八年级下册第四章第三节公式法的第二课时。前面我们学习了因式分解的概念，什么是因式分解呢？
生：把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，它是整式乘法的逆过程。
师：非常正确。那我们已经学过哪些因式分解的方法？
生：第一种是提取公因式法，比如对于多项式$MA + MB + MC$，可以把各项的公因式$m$提取出来，分解成$m(a + b + c)$。第二种是运用平方差公式法，像$a^2 - b^2$形式的多项式，可直接分解为$(a + b)(a - b)$，公式里的$a$、$b$可以是单项式，也可以是多项式。
师：很好，那我们来练习一下，把下列各式分解因式。第一题，$a x^4 - a x^2$，大家观察一下，能发现什么？
生：观察发现各项有公因式$ax^2$。
师：没错，那我们先把$ax^2$提取出来，得到什么？
生：$ax^2(x^2 - 1)$。
师：再观察$x^2 - 1$，还能继续分解吗？
生：可以，用平方差公式，最后结果为$ax^2(x + 1)(x - 1)$。
师：非常好。第二题，$x^4 - 16$，该怎么分解呢？
生：$x^4$可以写成$(x^2)^2$，$16$写成$4^2$，用平方差公式分解成$(x^2 + 4)(x^2 - 4)$，其中$x^2 - 4$还可以继续用平方差公式分解，最后结果为$(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$。
师：总结一下，有公因式时，先提取公因式，再观察能否用公式，因式分解一定要彻底。下面来看这道式子计算：$999^2 + 1998 + 1$，请同学们自己动手做一下。
（学生思考做题）
师：有的同学发现了$1998$可以写成$2×999$，因此式子可以变形成$999^2 + 2×999×1 + 1^2$。看到这个式子，你们想到了什么？
生：想到了完全平方公式。
师：回忆一下，完全平方公式是什么？
生：$(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2$。
师：刚才我们变形得到的式子和完全平方公式的右侧结构一样，所以逆用完全平方公式可得$(999 + 1)^2 = 10^6$。就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便运算与因式分解。同学们观察新的公式，从右到左是完全平方公式，从左到右是因式分解。现在我们观察等号左边的多项式$a^2 ± 2ab + b^2$，我们把$a^2 + 2ab + b^2$和$a^2 - 2ab + b^2$这样的式子称为完全平方式。观察这两个式子，思考以下问题：一、每个多项式有几项？二、每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三、中间项和第一项、第三项有什么关系？
生：这个多项式有三项，第一项和第三项都是某数或是式子的平方，并且符号相同。中间项是第一项和第三项底数的积的正负二倍。
师：如果我们把$a$看成首，$b$看成尾，那么我们有简记口诀：首平方尾平方，首尾两倍在中央。对应的结果用语言来叙述就是：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的二倍，等于这两个数的和或差的平方。注意这里面的数或式子可以是字母，也可以是单项式或多项式。凡具备这些特征的三项式就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解。根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。对照新的公式填空，请同学们先做一下。
（学生做题）
师：好，和老师一起看。第一题，$x^2 + 4x + 4$，公式里的$a$表示$x$，$b$表示$2$，中间项即为$2×x×2$，可以写成$(x + 2)^2$。第二题，$m^2 - 6m + 9$，在这里$a$表示$m$，$b$表示$3$，中间项即为$-2×m×3$，结果写成$(m - 3)^2$。第三题，$a^2 + 4ab + 4b^2$，在这里$a$表示$a$，$b$表示$2b$，中间项为$2×a×2b$，最后结果写成$(a + 2b)^2$。相信同学们都做对了。继续练习，下列多项式是否是完全平方式？如果是，$a$表示什么，并把它写成$(a ± b)^2$的形式，大家试一下。
生：第一个多项式$x^2 - 6x + 9$是完全平方式，$a$表示$x$，$b$表示$3$，可以写成$(x - 3)^2$。
师：很好，第二个多项式$4b^2 + 4b - 1$呢？
生：两个平方项异号，所以不是完全平方式。
师：对，第三个多项式$1 + 4a^2$呢？
生：只有两项，不是完全平方式。
师：没错，第四个多项式$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$是完全平方式吗？
生：根据口诀“首平方尾平方首尾两倍在中央”，中间项应该为$2×x×\frac{1}{2}$，所以它不是完全平方式。
师：非常好，第五个多项式呢？
生：是完全平方式，在这里$a$表示$2y$，$b$表示$3x$，可以写成$(2y - 3x)^2$。
师：最后一个多项式$(a + b)^2 - 2(a + b) + 1$呢？
生：也是完全平方式，在这里$a$表示多项式$a + b$，$b$表示$1$，最后分解为$(a + b - 1)^2$。
师：这一题我们只要抓住完全平方式的结构特征就能做出正确的判断。练习，如果$x^2 - 10x + n$是一个完全平方式，那么$n$是几呢？请同学们先思考。
生：根据完全平方式的结构特征，中间项$-10x$可以写成$-2×x×5$，所以$n = 5^2 = 25$。