师：同学们，大家好。今天这节课我们继续学习14.3.2公式法的第二课时——利用完全平方公式进行因式分解。首先，我们回顾一下学过哪些因式分解的方法？
生：提公因式法，即$ma + mb + mc = m(a + b + c)$；还有因式分解的平方差公式，$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
师：非常好。在整式乘法中，除了平方差公式外，我们还学过什么公式呢？
生：完全平方公式。
师：没错，大家还记得完全平方公式吗？一起来说一说。
生：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
师：现在，如果将完全平方公式反过来，会得到什么呢？
生：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
师：像$a^2 + 2ab + b^2$或$a^2 - 2ab + b^2$这样的多项式，我们叫做完全平方式。现在请同学们观察这两个多项式，回答下面三个问题。第一，每个多项式有几项？
生：每个多项式均有三项。
师：第二，每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
生：第一项均是$a^2$，第三项均是$b^2$，这两项都是数或式的平方，并且符号相同。
师：第三，中间项和第一项、第三项有什么关系？
生：中间项分别是$2ab$和$-2ab$，是第一项和第三项底数的积的正负二倍。
师：那我们能否总结完全平方式具有怎样的特点呢？
生：必须是三项式，或可以看成三项的；有两个同号的数或式的平方，比如式子中的$a^2$和$b^2$；中间有两底数之积的正负二倍。
师：很好。刚才我们学习了完全平方式，现在请同学们完成两个练习。练习一，判断下列多项式是不是完全平方式，并说明原因。第一小题，$a^2 - 4a + 4$。
生：是完全平方式，因为它可以写成$a^2 - 2×a×2 + 2^2$。
师：第二小题，$1 + 4a^2$。
生：不是完全平方式，因为它只含有两项。
师：第三小题，$4b^2 + 4b + 1$。
生：是完全平方式，因为它可以写成$(2b)^2 + 2×2b×1 + 1^2$。
师：第四小题，$a^2 + ab + b^2$。
生：不是完全平方式，因为虽然有$a^2$和$b^2$，但中间项不是两个底数乘积的2倍。
师：通过练习一，我们可以再次总结完全平方式的特征：一是三项；二是两平方项同号；三是另一项可化为二倍两底数乘积的形式。现在请同学们继续完成练习二，补上一项，使下列多项式成为完全平方式。第一小题，$x^2$和$y^2$，缺少哪一项呢？
生：可以填$2xy$。
师：第二小题，$4a^2 + 9b^2$，这里缺少的是哪一项？
生：缺少中间项，应填$12ab$或$-12ab$。
师：第三小题，$x^2 - 4x$，缺少什么？
生：缺少$4$，可写成$x^2 - 4x + 4$。
师：第四小题，$a^2 + \frac{1}{2}ab$，缺少什么？
生：缺少$\frac{1}{16}b^2$，可写成$a^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{16}b^2$。
师：第五小题，$4x^2y +$（ ）$ + y$，缺少什么？
生：缺少$4x$，可写成$4x^2y + 4x + y$。
师：通过刚才的练习，同学们对完全平方公式有了更深的认识。现在请同学们思考，能将多项式$a^2 + 2ab + b^2$与$a^2 - 2ab + b^2$分解因式吗？
生：可以，根据前面把乘法公式反过来，$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
师：对，这就是分解因式的完全平方公式法。现在我们来看例1，分解因式。第一小题，$16x^2 + 24x + 9$；第二小题，$-x^2 + 4xy - 4y^2$。先看第一小题，它有三项，判断一下是不是完全平方式。
生：是完全平方式，$16x^2 = (4x)^2$，$9 = 3^2$，$24x = 2×4x×3$。
师：所以$16x^2 + 24x + 9$可以分解为？
生：$(4x + 3)^2$。
师：再看第二小题，$-x^2 + 4xy - 4y^2$，判断这个式子是不是完全平方式，如果不是，经过变形能否变为完全平方式？
生：首先提取负号，变为$-(x^2 - 4xy + 4y^2)$，括号里的是完全平方式，$x^2 = x^2$，$4y^2 = (2y)^2$，中间项$4xy = 2×x×2y$。