师：同学们好，请做好准备，开始今天的数学学习。在第八章第二节，我们学习了整式的乘法，包括单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式。像((a + b)^2)，可以看成((a + b)\times(a + b))，利用多项式乘法法则计算，由此得到完全平方公式。借助它能快速对某些特殊多项式进行运算。而形如((a + b)(a - b))的多项式，同样利用多项式法则运算，结果是(a^2 - b^2)。
这三个公式就是前面学的乘法公式，大家还记得怎么用乘法公式计算吗？来看三道小题。
第一小题，((x + 3y)^2)，这里把(x)看成公式中的(a)，(3y)看成公式中的(b)，它符合((a + b)^2)的形式，展开利用(a^2 + 2ab + b^2)计算，答案是(x^2 + 6xy + 9y^2)。
第二小题，((x - 3y)^2)，把(x)看成公式中的(a)，(3y)看成公式中的(b)，符合((a - b)^2)的乘法公式，根据((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)运算，结果是(x^2 - 6xy + 9y^2)。
第三小题，((m + 2n)(m - 2n))，把(m)看成公式中的(a)，(2n)看成公式中的(b)，符合((a + b)(a - b))的形式，结果为(a^2 - b^2)，即(m^2 - 4n^2)。
前面我们学过(m(a + b + c) = ma + mb + mc)，这是整式的乘法运算。交换位置得到(ma + mb + mc = m(a + b + c))，这就是上节课学的因式分解，采用的方法是提公因式分解法。
我们知道整式乘法与因式分解是互逆的过程，能否依据这一特征，利用乘法公式对特殊多项式进行因式分解呢？比如(x^2 + 6xy + 9y^2)，就可以因式分解成((x + 3y)^2)。这就是将完全平方公式倒过来用进行因式分解，即(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2)，(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2)。同样，平方差公式也能倒过来用，(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b))。运用公式对多项式进行因式分解的方法叫公式法，现阶段主要指完全平方公式和平方差公式。
接下来看例一，能否把下列各式写成完全平方的形式？观察这四小题，都是三项式，重点看首项与尾项。
第一小题，首项可看成(y^2)，尾项可看成((\frac{1}{2})^2)，中间的(-y)刚好是(2ab)，符合(2)倍首尾项乘积的关系，所以可写成((y - \frac{1}{2})^2)。
第二小题，(x^2 + 4x + 4)，首项看成(x^2)，尾项看成(2^2)，中间项(4x)是首尾乘积的(2)倍，符合和的完全平方公式，写成((x + 2)^2)。
第三小题，先看第一项(9x^2 = (3x)^2)，(1 = 1^2)，凑中间项(2\times3x\times1)，中间是减号，所以写成((3x - 1)^2)。
第四小题，(16x^2 + 8x + 1)，首项看成((4x)^2)，尾项看成(1^2)，可写成((4x + 1)^2)。
做完这四道题，大家能否判断一个多项式能否用完全平方公式因式分解呢？来看例二，辨析下面四个多项式。这四小题都是三项式，自然联想到完全平方公式的形式。
第一小题，(x^2 + x + 1)，首项看成(x^2)，尾项看成(1^2)，计算中间项，应该是(2x)才符合完全平方公式，所以它不能用公式法因式分解。
第二小题，(4x^2 - 4x + 1)，首项看成((2x)^2)，第三项看成(1^2)，中间的(-4x)可看成(-2\times2x\times1)，符合完全平方公式，能用公式法因式分解。
第三小题，(a^2 + 2ab - b^2)，首项看成(a^2)，发现后面一项不是(+b^2)，不符合完全平方公式，不能用公式法因式分解。
第四小题，(y^2 - 2y - 1)，首尾两项和第三题一样，最后一项是(-1)，不符合完全平方公式，不能用公式法因式分解。
通过这四道题练习，发现用公式法因式分解的多项式需具备特殊结构特征。这里都是三项式，中间项必须是(2ab)的形式，且首项和尾项同号，才能用完全平方公式因式分解。
接下来看例题，能否利用公式法对下列各式因式分解？
第一小题，是三项式，联想到完全平方公式。首项(x^2)，(49 = 7^2)，中间项可看成(2\times x\times7)，符合完全平方公式，写成((x + 7)^2)。
第二小题，(9a^2 - 30ab + 25b^2)，也是三项式。第一项写成((3a)^2)，第三项看成((5b)^2)，中间项看成(-2\times3a\times5b)，能用公式法因式分解，写成((3a - 5b)^2)。
乘法公式除了完全平方公式，还有平方差公式，来看下列各式能否用平方差公式因式分解。这四小题都是二项式，回顾平方差公式形式。