师：大家好，上节课我们对第27章相似图形的概念，以及相似三角形的性质和判定进行了小结复习。今天，我们继续对本章后面的内容进行小结。首先，温故而知新，什么叫位似图形呢？通过学习我们知道，如果两个图形的对应顶点连线都经过同一点O，且这点与对应点所连的线段成比例，那么这两个图形就叫做位似图形，这个点O我们称为位似中心。利用位似图形，我们可以把一个图形放大或者缩小。比如，看如何把三角形ABC放大为原来的两倍。屏幕上有三角形ABC和点O 。通过前面的学习，我们知道可以把三角形ABC以点O为位似中心同侧放大，也可以以点O为位似中心两侧放大。具体操作，大家看屏幕：连接OA并延长，连接OC并延长，连接OB并延长。在OA的延长线上截取AD = OA ，CF = OC ，截取BE = OB ，顺次连接点D、E、F ，我们就把三角形ABC以点O为位似中心放大为原来的两倍。还可以这样做：连接AO并延长，连接CO并延长，连接BO并延长，在AO的延长线上截取DO = 2AO ，截取OE = 2OB ，截取OF = 2OC ，顺次连接D、E、F ，得到的三角形DEF与三角形ABC关于点O为位似图形，同时也把三角形ABC放大为原来的两倍。通过这两个作图，我们可以得到：位似图形对应点连线都交于一点，即位似中心；对应线段平行或在同一条直线上。我们再来总结一下位似的基本模型，这里有四种基本模型。第一种，位似中心在两个位似图形的同一侧；第二种，位似中心在两个位似图形之间；第三种，位似中心在两个位似图形的内部；第四种，位似中心在其中一个位似图形的顶点上。
我们归纳一下，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心做一个图形的位似图形，我们可以做两个。当k＞1时，图形扩大；当0＜k＜1时，图形缩小。前面我们复习了图形的位似，在平面直角坐标系中，已知一个图形和一个点，如何做出它的位似图形，我们可以把一个图形放大和缩小。那在平面直角坐标系中，如何把一个图形关于原点这个特殊的点进行位似变换，并做出它的位似图形呢？这里我们看屏幕，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，那么就有两种情况。第一，两个位似图形在原点的同一侧，如果位似比（相似比）为k ，那么图形中一个点的坐标(x,y) ，它对应的点的坐标就是(kx,ky) 。如果两个位似图形在原点的两侧，那么原图形上点的坐标(x,y) ，它对应的位似图形上点的坐标就是( - kx, - ky) 。好，下面我们看一个例题。
在平面直角坐标系中，四边形OABC顶点坐标分别为：原点O(0,0) ，A点(6,0) ，B点(3,6) ，C点( - 3,3) 。以O为位似中心画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC相似比是2 : 3 。方法一，我们可以以O为位似中心，在同侧缩小。
根据我们刚才总结的知识点，O点是位似中心，它的对应点坐标还是O(0,0) 不变。那么A点，它的对应点坐标横坐标、纵坐标就要乘以(\frac{2}{3}) ，A点的坐标就变为(4,0) 。B点的对应点坐标变为(2,4) ，C点的对应点坐标变为( - 2,2) 。再接着把这些对应点在平面直角坐标系中标出来，连线就可以得到四边形OABC关于O点的位似图形。这是方法一。大家看一下四边形OABC，把它缩小为原来的(\frac{2}{3}) 得到四边形OA'B'C' 。
在平面直角坐标系中描出点O(0,0) 、A'(4,0) 、B'(2,4) 、C'( - 2,2) ，用线段顺次连接OA' 、A'B' 、B'C' 、C'O ，得到四边形OA'B'C' 为所求作图形。这是同侧位似，如果关于原点两侧位似，那么A、B、C、O各点横坐标、纵坐标都要乘以 - (\frac{2}{3}) 。看一下，O点坐标仍然是(0,0) ，因为它是位似中心。A点坐标由(6,0) ，6乘以 - (\frac{2}{3}) ，就是( - 4,0) 。B点坐标是(3,6) ，横坐标纵坐标乘以 - (\frac{2}{3}) ，就是( - 2, - 4) 。同理C点坐标变为(2, - 2) ，然后用线段顺次连接这些对应点，就得到四边形OABC关于O点的位似图形。同侧位似和两侧位似从图形上有什么特点呢？我们来看一下，同侧放大图形的方向是一致的，比如A点在这里，A'点方向一致；B点朝右上，B'点也朝右上；C点朝左上，C'点也在左上。如果是关于原点两侧位似的话，A点朝右，它对应点A''朝左；B点朝右上，B''点就朝左下；C点朝左上，C''点朝右下，方向是相反的。好，下面我们再看一个练习，如图，三角形ABO，把它缩小后得到三角形COD ，则它们的相似比是多少呢？来看一下。
我们知道，位似图形的相似比就是对应线段之比，那么OB = 5 ，OD = 2 ，所以它们的相似比为5 : 2 。很好。这时我们已经学习了四种图形的变换，从初一到初三，我们来梳理一下，首先是平移，第二是轴对称，第三是旋转，第四是位似。那你能说一说它们之间的异同吗？在右图所示的图案中能找到这些变换吗？我们看，右图中从这一个图案平移得到第二个图案，再得到第三个图案，我们可以看成是平移得到。这四个图案，从一个到另一个，可以看成是轴对称得到。这个图案转到这个位置，我们可以看成是旋转得到的。最后，由这个小图案得到这个大图案，可以通过位似得到。
好，刚才我们已经对这四种图形变换进行了总结，那么下面我们再思考一个问题，这四种图形变换它们的要素分别是什么呢？轴对称的要素就是对称轴，平移的要素就是平移的方向和平移的距离。旋转的要素是旋转中心、旋转方向和旋转角。位似的要素就是位似中心和位似比。注意，图形的变换是我们学习几何必不可少的重要工具，它不但装点了我们的生活，而且是学习后续知识的基础。下面我们看一个课堂练习。如图，正方形ABCD和正方形OEFG ，点A、点F的坐标分别为(3,2) 、( - 1, - 1) ，则两个正方形的位似中心的坐标是谁呢？大家思考一下。位似中心可能在这两个图形之间，也可能在这两个图形的同一侧。如果在之间的话，A点的对应点应该是哪个点？大家思考一下，如果在同一侧的话，A点的对应点应该是哪个点？好，下面我们看，位似中心坐标是(1,0) 或者是( - 5, - 2) ，大家做对了吗？好，再看一个问题，如何把三角形ABC放大为原来的两倍，要放大为原来的两倍，首先要定到位似中心，这个位似中心的位置，我们之前总结了有四个位置，可能在三角形外的某一个地方同侧放大，可能在三角形外的某一个地方两侧放大，可能就在三角形ABC内部放大，可能就是三角形ABC的一个顶点。好，下面再看一道例题，这是书本上的原题，如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，FC = (\frac{1}{4})CD ，F就是四等分点，求证∠AEF = 90° 。