师：同学们，上节课我们学习了一元二次方程的定义和一般形式，这节课我们来做几道题回顾一下。大家看题，下列哪些方程是一元二次方程呢？第一题，它是一元二次方程。第二题，它不是一元二次方程，因为它左右两边不是整式。第三题，它也不是一元二次方程，因为一元二次方程只能有一个未知数，而这道题有两个未知数。下一题，它是一元二次方程。第五题，虽然有$x$平方，但把式子化简后，左右两边的$x$平方会抵消掉，实际上它是一个一元一次方程。最后一个，它是一元二次方程。
下面我们继续看几道题复习。大家看课堂练习，关于$x$的方程，当$k$满足什么条件时，它是一个一元二次方程呢？大家思考一下。我们知道一元二次方程的一般形式是$ax2 + bx + c = 0$，这里$a$、$b$、$c$为常数，特别要注意$a$不能等于$0$。所以这道题中关于$x$的方程，它的二次项系数也不能等于$0$，即$k - 3 ≠ 0$，那么当$k ≠ 3$时，它就是一元二次方程。同学们继续思考下一道题。
这道题中关于$x$的方程，当$k$满足什么条件时，它是一元二次方程呢？也就是当其二次项系数不为$0$，即$k2 - 1 ≠ 0$的时候，它是一元二次方程，由此可得$k ≠ ±1$。那当$k$满足什么条件时，它是一元一次方程呢？对于关于$x$的方程，要是一元一次方程，就要保证二次项系数为$0$，一次项系数不为$0$，综合可得，当$k = -1$时，它是一元一次方程。
下面我们继续。大家看“做一做”，幼儿园教室矩形地面，长为$8$米，宽为$5$米。准备在正中间铺设一块面积为$18$平方米的地毯，且四周未铺地毯的条形区域宽度都相同，能求出这个宽度吗？上节课我们设这个宽度为$x$，并列出了方程。这节课我们思考一下，怎么估计四周未铺地毯的宽度$x$是多少呢？大家思考。
好，我们继续。把实物图形数学化，可以得到这样的图，四周未铺设地毯的宽度均为$x$，那么地毯的长就是$8 - 2x$，地毯的宽是$5 - 2x$。因为矩形面积是长乘宽，所以可以得到关于$x$的方程式：$(8 - 2x)(5 - 2x) = 18$。下面我们把方程化简成一般形式，化简结果是……
好，继续往下看。既然要估算$x$的值，那我们先看看$x$取值的大致范围。请问大家，$x$可能小于$0$吗？说说理由。大家回忆一下，这里的$x$是什么？这里的$x$是宽度，既然是宽度，就一定不能小于$0$。那$x$可能大于$4$吗？我们看，地毯的长是$8 - 2x$，地毯长度要大于$0$，所以$8 - 2x > 0$，可以得到$x < 4$。大家再思考，它可能大于$2.5$吗？这里$5 - 2x$是地毯的宽度，它要大于$0$，所以$x < 2.5$。综合一下，$x$的大致取值范围就是$0 < x < 2.5$。
下面我们就在$0 < x < 2.5$这个范围内取值列表计算，继续缩小$x$的取值范围，或者直接从表格中得到$x$的值。大家看表格，这里$x$的值取了$0$、$0.5$、$1$、$1.5$、$2$、$2.5$，它们对应的式子值分别如下所示。观察表格，能得到什么呢？我们发现当$x = 1$的时候，式子的值正好等于$18$，所以可以得到结论，所求的宽度$x$就是$1$。大家思考一下，还有其他解决办法吗？我们可以把$(8 - 2x)(5 - 2x) = 18$看作是$6×3 = 18$，从这里也能解得$x = 1$。
做完这题，我们大致理解了求$x$值的方法，下面继续挑战。大家看“做一做”，设梯子底端滑动的距离为$x$米，把实物数学化。设梯子底端滑动$x$米，在直角三角形中应用勾股定理可以得到关于$x$的等式：$72 + (x + 6)2 = 102$。等式列完后，我们把它化简成一般形式，一般形式如下所示。下面我们思考，先确定一下$x$的大致取值范围。
这里$x$是梯子滑动的距离，所以$x$一定是非负值，即$x ≥ 0$。下面我们就在这个范围内对$x$取值列表计算，缩小$x$的取值范围。大家看表格，这里$x$取的值分别是$0$、$0.5$、$1$、$1.5$、$2$，它们所对应的值分别如下所示。
我们发现，当$x = 1$的时候，式子的值是$-2$；当$x = 1.5$的时候，式子的值是$5.25$。所以可以得到结论，此时$x$的大致取值范围是$1 < x < 1.5$。下面我们在$1$和$1.5$的范围内对$x$继续取值，进一步缩小$x$的取值范围。
大家看表格，此处$x$的取值分别为$1.1$、$1.2$、$1.3$和$1.4$，此时式子对应的值分别如下所示。观察表格，能得到什么呢？我们发现，当$x = 1.1$的时候，式子的值等于$-0.59$；当$x = 1.2$的时候，式子的值等于$0.84$。我们可以得到$x$最接近的整数值是$1$，精确到十分位时，$x$的值约是$1.1$。
那如果想继续确定到百分位，该怎么计算呢？大家思考。
我们可以在$x > 1.1$，$x < 1.2$的范围内继续取值列表计算。大家看表格，在此处取的$x$值分别是$1.13$、$1.14$、$1.15$和$1.16$，它们对应的式子值分别如表格所示。
从表格我们可以得到，精确到百分位，$x$的值约是$1.14$，此时把$x$值代入式子中，式子最接近于$0$。
下面我们一起来总结一下估算的方法、步骤和提高估算能力。
首先第一步，先大致确定未知数的取值范围。然后再取值计算，逐步逼近。
我们继续看随堂练习。观察下列等式，还能找到其他$5$个连续整数，使前$3$个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
我们先将其一般化，如果设整式中的第一个数为$x$，那么后面四个数依次可表示为$x + 1$、$x + 2$、$x + 3$以及$x + 4$。根据题意得到等式，再将整式化简得到一般式，能求出这$5$个整数分别是多少吗？
下面我们想想$x$是什么数？它是整数。我们在整数范围内选取特值列表计算，缩小$x$的范围，或直接从表格中得到答案。
这里对$x$的值选择$-3$到$11$这一段范围。大家看表格，$x$的值对应式子的值依次如表格所示。从表格中能得到什么呢？
从表格中我们可以得到$x = -2$或$10$，那么这$5$个连续的整数依次就是……
下面我们继续。大家看，这节课大家有什么收获呢？今天我们学习了一元二次方程里未知数大致取值范围的估计方法，它的一般步骤是什么呢？
我们首先确定$x$的大致取值范围，然后列表计算，逐步逼近。最后大家思考一下，还有其他简便方法进行计算吗？这就是咱们下堂课要学习的内容了。好，我们来看独立作业，就是习题$2.2$的一二两题。我们先看第一题。
根据题意列出方程并估算方程的解。大家看题，此处是一个苗圃，如果设宽为$x$，那它的长就是$x + 2$。根据题意得到关于$x$的方程，再将其化成一般形式。我们先思考一下$x$的大致取值范围，因为$x$是宽，所以$x > 0$。我们知道$112 = 121$，所以$x < 11$。在此处我们先得到$x$的大致取值范围是$0 < x < 11$，然后选值列表。观察表格，可以得到什么呢？我们发现当$x = 10$的时候，式子的值正好等于$0$，所以$x = 10$，即苗圃的宽为$10$，长为$12$。
下面我们看第二题，大家看题。
这里跳台高为$10$米，运动员必须在水面$5$米以前完成规定动作，所以这里$h = 5$。我们可以得到式子，再将式子化简得到一般形式。我们先思考一下$t$的大致取值范围是什么呢？
我们知道$t$是时间，所以$t$一定是非负值，即$t ≥ 0$。在这个范围内选值列表计算，进一步缩小$t$的取值范围。大家看表格，这里$t$的取值取了$0$、$1$、$2$、$3$，它们对应的值分别如表所示。
我们发现当$t = 1$的时候，式子的值等于$-1$；当$t = 2$的时候，式子的值是$4$，所以$t$的取值范围就确定了。在$t > 1$、$t < 2$的范围内进行取值列表计算，大家看表格。
$t$的值以及式子所对应的值分别如表格所示。观察表格能发现什么呢？当$t = 1.2$的时候，式子的值等于$-0.32$；当$t = 1.3$的时候，式子的值等于$0.08$。
所以我们可以得到$1.2 < t < 1.3$，那么就可以知道，运动员完成规定动作最多的时间就是$1.3$秒。
独立作业做完了。大家看老师寄语。
运用方程或者方程组来解决相关的问题，这是一种数学思想，叫做方程的思想，它也是一种有效的数学模型。
本节课就上到这里，再见。