师：同学们，大家好。今天我们一起来学习上海科学技术出版社第24章第四节直线与圆的位置关系的第二课时。上节课我们已经学习了直线和圆的三种位置关系，接下来通过一则短视频回顾一下上节课所学内容。
（播放短视频后）
师：我们来研究直线和圆的位置关系。看这幅日落图，如果把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。如果太阳下降一点，直线和圆恰好只有一个公共点，我们就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。要是太阳再下降一点，直线和圆就有两个公共点，我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。而且，无论太阳怎么下降，直线和圆只会出现相交、相切和相离这三种位置关系。
师：那这三种位置关系该怎么判断呢？之前讲点和圆的位置关系时，是通过点到圆心的距离来判断。类似地，这里可以通过圆心到直线的距离来判断。从圆心向直线作垂线，仔细观察会发现，如果圆心到直线的距离等于半径，直线和圆相切；如果圆心到直线的距离大于半径，直线和圆相离；如果圆心到直线的距离小于半径，直线和圆相交。也就是说，判断直线和圆的位置关系，只需看圆心到直线的距离与半径的大小关系。直线和圆相离，即圆心到直线的距离大于半径；直线和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径；直线和圆相交，即圆心到直线的距离小于半径。
师：通过上节课学习，我们知道直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和半径的数量关系可以相互转化。现在一起总结上节课所学三种位置关系得到的性质。请看第一幅图，这是什么位置关系？
生：相交。
师：直线与圆公共点的个数是？
生：两个。
师：圆心O到直线的距离d和半径r的数量关系呢？
生：d小于r。
师：第二幅图，位置关系是？
生：相切。
师：公共点的个数呢？
生：一个。
师：数量关系呢？
生：d等于r。
师：最后一幅图，位置关系是？
生：相离。
师：公共点的个数是？
生：没有。
师：数量关系呢？
生：d大于r。
师：今天我们重点探究相切，看看它还有哪些特殊性质。如图，直线l与圆O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA有怎样的位置关系？大家大胆猜想一下。
生：垂直。
师：有谁能说说为什么吗？能说明理由吗？
生：可以通过测量得到。
师：这里要注意，测量只能作为猜想依据，不能作为推理证明的依据。我们一起来探究，老师用几何画板带大家直观感受一下。在直线l上任选一点P，连接OP，观察OA与OP数量的变化。通过点P的移动，大家发现OP的长度随之改变，当它经过点A时，会怎样？
生：跟半径相等。
师：通过刚才直观感受，点P经过点A时，它的长度最短，恰好等于半径。根据这个，我们来推理一下。因为直线l与点A外的点P在圆O外，所以点P到直线l的距离大于半径。又因为直线l与圆O相切于点A，所以点O到直线的距离等于半径，所以半径OA是点O到直线l上任意一点的连线中最短的线段。所以能得到OA垂直于直线l，依据是点到直线垂线段最短。这样我们根据数量关系得到了它们的位置关系是垂直。把刚才得到的结论用文字语言描述就是：圆的切线垂直于经过切点的半径。通过探究，我们知道切线与圆不仅有数量关系，还有位置关系。这条性质就是圆的切线垂直于经过切点的半径，也就是只要有切线，切线与过切点的半径就互相垂直。用几何语言怎么描述呢？
师：因为直线l是圆O的切线，点A为切点，所以OA垂直于l。这条性质说明了切线与过切点半径的位置关系。学以致用，我们用所学知识解决问题。大家看例一，如图，Rt△ABC斜边AB = 10厘米，∠A = 30°。第一问，以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与圆C相切？第二问，以点C为圆心，半径r分别为4厘米和5厘米作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？老师和大家一起读了题，先给大家一点时间思考。
（学生思考片刻）
师：做题前先分析问题，一般几何问题要数形结合，先把文字信息转化到图上。在Rt△ABC中，可知∠C = 90°，斜边AB = 10厘米，∠A = 30°，BC等于多少？
生：5厘米，因为30°所对的直角边等于斜边的一半。
师：看问题，以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与圆C相切。通过上节课学习，直线与圆相切，圆心到直线的距离和半径应该相等。所以要求出点C到AB的距离就能得到圆C的半径，很自然我们要做什么？
生：求出点C到AB的距离，过点C做AB的垂线。
师：然后根据解直角三角形ADC就能求出CD的长，从而得到半径的长。再看第二问，以点C为圆心，半径r分别为4厘米和5厘米作两个圆，这两个圆和斜边AB分别有怎样的位置关系？通过上节课学习，圆与直线的位置关系可通过圆心到直线的距离与半径r之间的数量关系来决定。根据第一问，我们知道了圆心C到AB的距离，再与4厘米和5厘米比较大小，就能确定它们之间的位置关系。
师：大家分析得很好，一起用文字语言把过程书写下来。做几何题添加了辅助线，解题过程中一定要写出来。所以这里一开始写：解，一过点C作边AB边上的高CD。在Rt△ABC中，因为∠A = 30°，AB = 10厘米，所以∠B = 60°，BC = 1/2 AB = 1/2 × 10 = 5厘米。在Rt△BCD中，CD = BC×sinB = 5×sin60° = 5/2√3厘米，所以当半径为5/2√3厘米时，AB与圆C相切。
师：再来书写第二问。由一可知圆心C到AB的距离d = 5/2√3厘米，这个带根号的数与4和5的大小不能直观看出，所以要进行估算。√3近似等于1.732，所以估算出d约等于4.33。所以当r = 4厘米时，d大于r，圆C与AB相离；当r = 5厘米时，d小于r，圆C与AB相交。大家讲得很好，说明上节课学得很棒。接下来再看一题练习一下。