师：今天我们继续学习15.3分式方程第二课时。上节课我们学习了分式方程的概念，知道分母中含有未知数的方程叫分式方程，还学习了解分式方程的基本方法，即通过去分母将分式方程转化为整式方程，体会将未知转化为已知、将复杂转化为简单的划归思想，也掌握了解分式方程的验根方法，就是把整式方程的解代入分式方程。
接下来，我们用上节课学的解分式方程的方法来解方程：$\frac{1}{x - 5} = \frac{10}{x^2 - 25}$，该怎么求解呢？我们发现它是一个分式方程，通过去分母转化为整式方程。我们学过$x^2 - 25$可以因式分解为$(x + 5)(x - 5)$，不难得出它的最简公分母就是$(x + 5)(x - 5)$。我们将方程左右两边同乘$(x + 5)(x - 5)$去分母，得到$x + 5 = 10$，移项可得$x = 10 - 5$，合并同类项得出$x = 5$。那么我们求出的$x = 5$一定是整式方程$x + 5 = 10$的解，它一定是原分式方程的解吗？这时我们把$x = 5$代入原分式方程，当$x = 5$时，左右两边分式的分母都为$0$，分式无意义。所以$x = 5$不是原分式方程的解，原分式方程无解。下面我们一起回顾一下$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$的求解过程。
去分母，两边同乘$(30 + v)(30 - v)$，得到$90(30 - v) = 60(30 + v)$。去括号得$2700 - 90v = 1800 + 60v$，移项得$-90v - 60v = 1800 - 2700$，合并同类项得$-150v = -900$，系数化为$1$，得$v = 6$。检验，当$v = 6$代入原方程，发现左边等于右边等于$2.5$，所以$v = 6$是原分式方程的解。
回过头看，这是我们刚求解的两个分式方程的步骤，左边$v = 6$是原分式方程的解，右边$x = 5$不是原分式方程的解。通过前面学习我们知道$v = 6$一定是对应整式方程的解，$x = 5$也一定是变化后整式方程的解。问题出在哪呢？原来问题出在分式方程转化为整式方程的过程中。
解方程$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$，去分母时两边同乘$(30 + v)(30 - v)$得到整式方程$90(30 - v) = 60(30 + v)$，解得此整式方程的解$v = 6$。反过来代入$(30 + v)(30 - v)$时，发现$(30 + v)(30 - v) \neq 0$。根据等式性质二，从分式方程$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$转化为整式方程$90(30 - v) = 60(30 + v)$的操作是成立的，所以整式方程$90(30 - v) = 60(30 + v)$的解$v = 6$就是原分式方程$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$的解。
而解分式方程$\frac{1}{x - 5} = \frac{10}{x^2 - 25}$时，去分母两边同乘$(x + 5)(x - 5)$得到整式方程$x + 5 = 10$，解得此整式方程的解$x = 5$。反过来代入$(x + 5)(x - 5)$时，发现$(x + 5)(x - 5) = 0$。根据等式性质二，从分式方程$\frac{1}{x - 5} = \frac{10}{x^2 - 25}$转化为整式方程$x + 5 = 10$的操作不成立，所以整式方程$x + 5 = 10$的解$x = 5$不是原分式方程的解。我们求得的整式方程的解，有时是原分式方程的解，有时不是，所以解方程必须检验。
刚刚这两道题我们是把分式方程去分母后得到的整式方程的解代入原分式方程，看等号左右两边是否相等，判断它是不是原分式方程的解。那有没有更简便的方法呢？有同学发现，只需要把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为$0$，那么整式方程的解就是原分式方程的解；如果最简公分母的值为$0$，那么整式方程的解就不是原分式方程的解，原分式方程无解。所以我们给出更简便的检验方法：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为$0$，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为$0$，则整式方程的解不是原分式方程的解，原分式方程无解。由此，我们可以得出解分式方程的一般步骤：一、去分母，两边同乘最简公分母；二、解整式方程；三、检验，代入最简公分母；四、写出原分式方程的解。接下来我们通过几道例题练习一下解分式方程的方法。
例一，解下列分式方程。首先看第一小题，观察分式方程$\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x}$，最简公分母为$x(x - 3)$。方程两边乘$x(x - 3)$得$2x = 3(x - 3)$，去括号得$2x = 3x - 9$，移项得$2x - 3x = -9$，合并同类项得$-x = -9$，解得$x = 9$。我们用简便方法检验，把整式方程的解代入最简公分母，当$x = 9$时，$x(x - 3) \neq 0$，所以$x = 9$是原分式方程的解。
接着看第二小题，观察分式方程$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$，最简公分母为$(x - 1)(x + 2)$。方程两边乘$(x - 1)(x + 2)$得$x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3$，这里要注意常数项不要漏乘。去括号得$x^2 + 2x - x^2 - 2x + x + 2 = 3$，合并同类项得$x = 3 - 2$，解得$x = 1$。检验，当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，所以原分式方程无解。