师：大家好，这节课我们开始锐角三角函数第一课时的学习。如图，从山脚到山顶，可以选择爬坡面AB，也可以选择爬坡面BC。爬这两段坡面会有什么不同的感受？哪个坡面更陡？你是如何判断的？
从图中我们不难发现，坡面AB与地面AC的夹角α小于坡面BC与地面AC的夹角β，坡面BC更陡。我们把坡面与水平面的夹角叫做坡角，或者称为倾斜角。显然，坡角越大，坡面就越陡。因此，坡角可以用来描述坡面的倾斜程度。
刚才我们是利用角来描述坡面的倾斜程度，现在我们能不能尝试用边来描述呢？过B的顶点B向地面AC作垂线段BD，我们把线段BD的长度叫做坡面AB的铅直高度，把线段AD的长度叫做坡面AB的水平长度。若比较坡面的长度、铅直高度、水平长度三者中的任何一个，可以判断坡面的倾斜程度吗？
借助几何画板，我们发现改变坡面的长度、铅直高度、水平长度三者中任何一个都不会改变坡面的倾斜程度。所以比较坡面的长度、铅直高度、水平长度三者中的任何一个，都不能判断哪个坡面更陡。既然利用坡面的长度、铅直高度、水平长度三者中的任何一条边都不能描述坡面的倾斜程度，那么我们能不能想办法改进呢？一条边不行，两条边是不是可以呢？现在我们尝试综合考虑两条边，我们已经发现坡角可以用来描述坡面的倾斜程度，能不能想办法利用这个结论呢？如图，坡面的长度、铅直高度、水平长度构成了一个直角三角形。
两个锐角一样大的直角三角形对应的坡面的倾斜程度是一样的，而这两个直角三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例。那么能不能利用直角三角形两边的比来描述坡面的倾斜程度呢？这节课我们先来研究倾斜角的对边与邻边的比。
比如图，在锐角α的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC，再任取一点B?，自点B?向另一边做垂线，垂足为C?，得到另一个Rt△AB?C?，这样我们可以得到无数个直角三角形。
师：这些直角三角形有什么关系？
生：显然是相似的。
师：在这些直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比，BC∶AC、B?C?∶AC?、B?C?∶AC?有怎样的关系呢？
生：根据相似三角形对应边成比例，可以得到BC∶AC = B?C?∶AC? = B?C?∶AC? 。
师：我们也可以观察几何画板的动画演示。Rt△ABC中，角α不变，BC沿AC所在的直线慢慢滑动，且保持BC垂直AC。我们发现，无论Rt△ABC的大小如何变化，BC∶AC的值总保持不变。由此可以得到以下结论。
结论：在Rt△ABC中，当锐角α的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，角α的对边与角α的邻边的比值总是唯一确定的。所以倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度。上面的结论告诉我们直角三角形中锐角和锐角的对边与邻边的比的关系。直角三角形中锐角固定，那么这个锐角的对边与邻边的比也固定，如果锐角的大小变化了，这个比值会发生怎样的变化呢？
我们再观察几何画板的演示。在Rt△ABC中，我们改变锐角α的大小，BC∶AC的值也随之改变。在这样一个变化过程中，Rt△ABC中锐角α的对边与锐角α的邻边的比值，即BC∶AC随着角α的大小的变化而变化，并且对于锐角α的每一个值，BC∶AC都有唯一确定的值与之对应。
师：你认为BC∶AC与角α这两个变量之间是一种什么关系呢？请大家思考一下。
生：这种关系符合我们八年级曾经学习的函数定义，BC∶AC与角α这两个变量之间是一种函数关系。
师：对，这就是我们下面要学习的一种新的函数关系——正切。在Rt△ABC中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切，记作tanα，即tanα = 角α的对边 / 角α的邻边 = BC / AC = a / b。类似的，你认为角β的正切该如何表示呢？大家思考一下。
生：tanβ = 角β的对边 / 角β的邻边 = AC / BC = b / a 。
师：关于正切，我们需要注意以下几点，tanα是一个完整的符号，它表示角α的正切。我们习惯省略角的符号，但角BAC的正切应表示为tan∠BAC，角1的正切应表示为tan∠1，此时角的符号是不可以省略的。tanα没有单位，它表示一个比值，tanα大于0，即直角三角形中角α的对边与邻边的比。tanα不能写成tan ×α。我们已经知道坡角可以刻画坡面的倾斜程度，但是在实际问题的操作中，坡角是难以直接测量的，但是因为坡面的长度、铅直高度、水平长度构成了一个直角三角形，所以可以用坡角的正切描述坡面的倾斜程度。我们把坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度，或称为坡比，记作i，即i = h / l = tanα。坡度通常写成h∶l这种比例的形式。显然坡度i = tanα越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
接下来我们共同看几个例题。首先来看例一，如图，Rt△ABC中，角C = 90°，AC = 4，BC = 3。求tanα和tanβ。本题属于基础题型，在Rt△ABC中已知两条直角边，根据正切的定义，一个角的正切等于这个角的对边比这个角的邻边。因此tanα = 角α的对边BC / 角α的邻边AC = 3 / 4 。tanβ = 角β的对边AC / 角β的邻边BC = 4 / 3 。
我们继续看例二，在Rt△ABC中，角C = 90°，若AB = 25，tanβ = 4 / 3，求AC和BC的长度。本题中所求的AC和BC是Rt△ABC的直角边，由tanβ = AC / BC = 4 / 3，可以得出AC和BC的数量关系。如果设AC = 4k，BC = 3k，其中k＞0。根据勾股定理，可以求出斜边AB = √(AC2 + BC2) = √((4k)2 + (3k)2) = 5k，因为AB = 25，所以5k = 25，解得k = 5，所以AC = 4k = 20，BC = 3k = 15。
我们再来看例3，计算课本第112页图23 - 3中坡面AB和A?B?的坡度，并说明哪一个坡面比较陡。根据坡度的定义，坡面的坡度等于坡面的铅直高度和水平长度的比，因此，iAB = BC / AC = 20∶100 = 1 / 5。iA?B? = B?C? / A?C? = 30∶80 = 3 / 8。因为1 / 5 ＜ 3 / 8，所以iAB ＜ iA?B?，所以坡面A?B?比较陡。
我们继续看例4，如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，求tan∠BAC的值。求tan∠BAC的值，我们首先要在图中找到含∠BAC的直角三角形，但是在图中我们并没有发现含∠BAC的直角三角形。那么能不能想办法构造出含∠BAC的直角三角形呢？根据已知，本题图中的每个小正方形的边长为1。根据勾股定理，我们容易求得AB = √(12 + 22) = √5，AC = √(12 + 32) = √10。若连接BC，可以求出BC = √(12 + 22) = √5。因此AB = BC = √5，并且AB2 + BC2 = AC2 = 10。根据勾股定理的逆定理，△ABC是一个等腰直角三角形，且∠ABC = 90°，所以tan∠BAC = BC / AB = 1。
详细解题步骤如下，解：连接BC，由题，根据勾股定理可以求得AB = √(12 + 22) = √5，AC = √(12 + 32) = √10，BC = √(12 + 22) = √5。所以AB = BC = √5，AB2 + BC2 = AC2 = 10，所以△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC = 90°，所以tan∠BAC = BC / AB = 1。
我们再看例5，如图，在直角三角形ABC中，角C = 90°，AC = 6，D是AC边上的一点。若tan∠DBA = 1 / 5，求tan∠CBD的值。求tan∠CBD，我们首先还是要找到含∠CBD的直角三角形，在图中，含∠CBD的直角三角形是Rt△CBD。根据正切的定义，tan∠CBD = 角CBD的对边 / 角CBD的邻边 = CD / BC。已知△ABC是等腰直角三角形，所以AC = BC = 6。那么解决这个问题只需要求出CD即可。