师：同学们好，这节课我们共同学习初中数学北师大版九年级数学下册第三章第七节切线长定理。首先来看本节课的学习目标：一是会过圆外一点画圆的切线，了解切线长定义，理解并掌握切线长定理；二是能利用切线长定理解决问题。
通过前面的学习，我们已经知道如何过圆上一点作已知圆的切线。现在看一个问题，如图，点(P)是圆(O)上一点，请过点(P)作圆(O)的切线。同学们，要准确解决这个问题，我们需要知道切线的判定定理是什么。谁来说说？
生：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
师：非常好。所以要解决这个问题，我们可以分两步完成：首先连接(OP)，然后过点(P)作直线(AB)垂直于(OP)，直线(AB)就是圆(O)的切线。那过圆外一点如何画圆的切线呢？能画几条？如图，点(P)是圆(O)外一点，如何过点(P)画圆(O)的切线？请同学们思考。
生：可以借助三角板画出圆(O)的切线。把三角板的一条直角边经过圆心(O)，另一条直角边经过点(P)，此时三角板的直角顶点和圆(O)交于一点(A)，连接(OA)、(PA)，则(PA)垂直(OA)。根据切线的判定定理，(PA)是圆(O)的一条切线。
师：这位同学很聪明，巧妙地利用了直角三角板两条直角边互相垂直这一有利条件解决了问题，为他点赞。我们把三角板反过来，用同样的方法，还可以过点(P)作出圆(O)的另一条切线，这里老师就不再重复讲解。
除了这个方法，我们还可以用圆规和直尺画出圆(O)的切线。具体操作是这样的：连接(OP)，以(OP)为直径作一个圆，与圆(O)交于(A)、(B)两点，连接(PA)、(PB)，则(PA)、(PB)就是圆(O)的两条切线。请同学们思考，(PA)、(PB)为什么是圆(O)的切线呢？
生：连接(OA)，(OA)是圆(O)的一条半径。因为(OP)是所作圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，所以(PA)垂直(OA)。再根据切线的判定定理，可得(PA)是圆(O)的切线，同理(PB)也是圆(O)的切线。
师：很好。接下来我们学习切线长的定义。切线长难道是切线的长度吗？
生：不对，切线是直线，它的长度无法度量。
师：这位同学说得很好。那么到底什么是切线长呢？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。如图，(PA)、(PB)是圆(O)的两条切线，线段(PA)、(PB)的长就叫做切线长。由此看来，切线长与切线是有区别的。切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，长度可以度量；而切线是直线，长度无法度量。
好，我们来看这样一个问题，如图，(PA)、(PB)是圆(O)的两条切线，点(A)、(B)是切点，这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由。要判断一个图形是不是轴对称图形，我们通常会把这个图形画在一张透明纸上，然后通过折一折来判断，请同学们动手试试吧。
生：通过操作发现它是轴对称图形，它的对称轴是直线(PO)。在折叠的过程中，发现线段(PA)、(PB)互相重合，所以(PA = PB)。
师：那除了相等的线段，你还发现里面存在着相等的角吗？
生：(\angle APO)和(\angle BPO)是重合的，所以这两个角相等。
师：由此我们得到一个结论：过圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。我们把这个结论叫做切线长定理。切线长定理用几何语言来描述就是：如图，因为(PA)、(PB)分别切圆(O)于点(A)、(B)，所以(PA = PB)，(\angle OPA = \angle OPB)。同学们请注意，切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。刚才我们通过动手操作得出这一结论，接下来我们用科学的方法对它进行推导验证。请看一个问题。
已知(PA)、(PB)是圆(O)的两条切线，点(A)、(B)是切点，求证(PA = PB)，(\angle APO = \angle BPO)。要证明线段相等或角相等，我们最常用的方法是什么呀？
生：利用三角形全等来证明。
师：对，所以我们连接(OA)、(OB)构造三角形，然后再来找一找这两个三角形全等的条件有哪些。
根据已知条件，因为(PA)、(PB)是圆(O)的切线，我们根据切线的性质可以得到(\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ})。又因为(OA = OB)，(OP = OP)，所以这两个直角三角形全等，理由是(HL)。所以(PA = PB)，(\angle APO = \angle BPO)。
我们通过证明验证了切线长定理的正确性，那么今后在证明线段相等或角相等的时候，我们就多了一种方法可以选择，就是可以利用切线长定理来证明。好，我们再来看一个问题：圆的外切四边形问题。如图，四边形(ABCD)的四条边都与圆(O)相切。图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴交流。四边形(ABCD)的四条边之间有哪些等量关系啊？
生：我们发现四边形(ABCD)的四条边都与圆(O)相切，把切点设为(E)、(F)、(G)、(H)。根据刚刚学习的切线长定理得到这样几个等式：(AE = AH)，(DE = DF)，(CG = CF)，(BG = BH)。然后把上面四个等式左边部分相加，等于右边部分相加，即(AE + DE + CG + BG = AH + BH + DF + CF)。对这个等式进行整合，可以得到(AD + BC = AB + DC)。
师：由此我们可以得到一个结论：圆的外切四边形，两组对边的和相等。同学们，根据以往学习经验，我们知道在解决圆的问题中往往需要添加辅助线，那么通过刚才的学习，我们总结出切线长问题中辅助线的几种添加方法。第一条连接圆心和切点，这一条在解决圆的问题中是最常用的添加方法之一，我们可以把它巧记为“圆上若是有切线，切点圆心半径连”。还可以连接两切点，或者连接圆心和圆外一点等。解题时我们根据需要选择适当的方法进行添加辅助线。好，我们来看一个例题。
如图，在(Rt\triangle ABC)中，(\angle C = 90^{\circ})，(AC = 10)，(BC = 24)，圆(O)是(\triangle ABC)的内切圆，切点分别为(D)、(E)、(F)。求圆(O)的半径。
同学们，请弄清题目中有哪些已知条件，问题求的是什么，结合图形分析题意。
生：通过观察图形分析题意，发现这一题需要添加辅助线。既然是求圆(O)的半径，不妨连接圆心和切点，连接(OD)、(OE)、(OF)，则(OD = OE = OF)。设圆的半径为(r)，在(Rt\triangle ABC)中，(AC = 10)，(BC = 24)，利用勾股定理可求出(AB)的长为(\sqrt{10^{2} + 24^{2}} = 26)。又因为圆(O)与三角形的各边相切，根据切线的性质可得(OD\perp AB)，(OE\perp BC)，(OF\perp AC)。根据切线长定理，可得(BD = BE)，(AD = AF)，(CE = CF)。又因为(\angle C = 90^{\circ})，所以四边形(OECF)为矩形。又因为(OE = OF)，所以一组邻边相等的矩形是正方形，所以(CE = CF = r)。因为(BC = 24)，所以(BE = 24 - r)；(AC = 10)，所以(AF = 10 - r)。(AB = BD + AD)，通过等量代换转化为(BE + AF)，即(24 - r + 10 - r = 34 - 2r)，而(AB = 26)，所以可以建立方程(34 - 2r = 26)，解方程得(r = 4)，圆(O)的半径为(4)。