师：同学们，大家好。这节课我们一起来学习 24.2 圆的基本性质第二课时——垂径定理的相关内容。
在上一节课，我们学习了弦的概念，连接圆上任意两点的线段叫做弦，其中直径是最长的弦。还学习了等弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。小学时我们就知道圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴。
下面观察图形并回答问题。如图，AB 是圆 O 的一条弦，作直径 CD，使 CD 垂直于 AB，垂足为 M。
此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
生：观察图形发现该图是轴对称图形，其对称轴是直径 CD 所在的直线。
你能发现图中有哪些等量关系？说一说理由。
生：根据轴对称的性质，轴对称图形沿着对称轴折叠后可以完全重合，所以得到 AM 等于 BM，弧 AC 等于弧 BC，弧 AD 等于弧 BD。
师：根据这两个问题的答案，我们可以总结出一个命题：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。这个命题是否为真命题呢？接下来我们通过几何证明来验证。
首先要将文字语言转化成几何语言。已知如图，在圆 O 中，CD 是直径，AB 是弦，且 CD 垂直于 AB，垂足为 E。求证 AE 等于 EB，弧 AD 等于弧 DB，弧 AC 等于弧 CB。
如何证明呢？我们只要根据圆的对称性，说明线段与线段、弧与弧能够分别重合，即可证明相等。
先连接 OA、OB。因为 OA、OB 都是半径，所以 OA 等于 OB。那么三角形 OAB 是等腰三角形，因此底边 AB 上的高 OE 所在的直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，得到点 A 与点 B 关于直线 CD 对称。同理，如果点 P 是圆 O 上任意一点，过点 P 作直线 CD 的垂线，与圆 O 相交于 Q 点，则点 P 与点 Q 关于直线 CD 也是对称的。所以圆 O 关于直线 CD 对称。
我们将圆 O 沿着直径 CD 折叠，CD 两侧的两个半圆重合，线段 AE 与线段 BE 重合，点 A 与点 B 重合，弧 AD 与弧 DB 重合，弧 AC 与弧 CB 重合。从而得出我们需要证明的结论：AE 等于 EB，弧 AD 等于弧 DB，弧 AC 等于弧 CB。
经过证明，该命题为真命题，我们将这个真命题命名为垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
如图所示，其几何语言表述为：因为 CD 是直径，且 CD 垂直于 AB，所以 AE 等于 BE，弧 AC 等于弧 BC，弧 AD 等于弧 BD。
同学们，根据垂径定理的内容，想一想下列图形是否具备垂径定理的条件，如果不是，请说明为什么。
生：图一是，直径 CD 垂直于弦 AB，满足条件。
生：图 2 不是，因为没有垂直关系。
生：图 3 是的，图中虽然没有直接画出直径，但将 OE 向下延长与圆相交后就是直径，并且垂直于弦 AB，所以符合垂径定理的条件。
生：图 4 不是，因为没有经过圆心。
师：由图 3 和图 4 我们也可以看出，直径这个条件不是必须的，只要经过圆心即可。
接下来我们看一看常见的垂径定理的基本图形。
图一：直径 CD 垂直于弦 AB，AE 等于 BE，弧 AD 等于弧 BD，弧 AC 等于弧 BC。
图 2：半径 OE 垂直于 AB，AD 等于 BD，弧 AE 等于弧 BE。
图 3：经过圆心 O 的线段 CD 垂直于 AB，AD 等于 BD，弧 AC 等于弧 BC。
图 4：中经过圆心的线段 OC 垂直于 AB，AC 等于 BC。
通过以上四幅图，同学们发现垂径定理中含有哪些要素呢？
生：有五个要素，一过圆心，二垂于弦，三平分不是直径的弦，四平分劣弧，五平分优弧。
师：这里第三个要素后面为什么要备注不是直径呢？稍后我们再讨论。观察图形我们不难发现，因为圆是轴对称图形，只要知道其中两个要素，就能判断出圆的对称性，从而得到其余三个要素。所以垂径定理有如下推论：
平分不是直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
简单点说就是垂径定理的五个要素，知二推三，只要满足其中两个条件，就能得出其他三个结论。推论的证明同学们课后利用圆的对称性自行完成。
现在我们来讨论一下，推论一“平分不是直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”，这里为什么要强调被平分的弦不是直径呢？不是直径这个条件能否去掉，同学们可以先思考再讨论。如果不能，请举出反例。
生：如图所示，AB 是直径，CD 既是直径也是弦。当直径 AB 平分弦 CD 时，满足两个条件，过圆心平分弦。但是如图所示，AB 与 CD 既不互相垂直，也不平分弧。
师：所以推论一中“被平分的弦不是直径”这个条件不能少，只有当一条直径平分一条不是直径的弦时，才能得出垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧的结论。这是因为圆的直径是特殊的弦，且圆的任意两条直径都是互相平分的。
以上是垂径定理及推论的学习，接下来我们利用垂径定理及其推论进行简单的计算。
先看一道例题，如图，圆 O 的半径为 5 厘米，弦 AB 为 6 厘米，求圆心到弦 AB 的距离。既然要求圆心到弦的距离，我们首先要将这个距离画出来，作 OE 垂直于 AB。这时我们发现图形满足垂径定理中的两个条件，过圆心垂直于弦，所以可以得出 OE 平分弦 AB。此时要求 OE 的长，只要连接半径 OA，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可。
来看一下解题过程。连接 OA，过圆心 O 作 OE 垂直于 AB，垂足为 E。由垂径定理知，AE 等于 EB 等于 1/2 AB 等于 3 厘米。又因为 OA 等于 5 厘米，所以在直角三角形 OEA 中，OE 等于根号下 OA 平方减 AE 平方，通过计算得出等于 4 厘米，所以圆心到弦 AB 的距离是 4 厘米。这里我们把圆心到弦的距离叫做弦心距。
请同学们利用垂径定理完成下面几题练习。
如图，OE 垂直于 AB 于 E 点，若圆 O 的半径为 10 厘米，OE 等于 6 厘米，则 AB 的长度为多少？
生：因为 OE 经过圆心且垂直于弦 AB，满足垂径定理的条件，所以 OE 平分 AB。连接 OA，根据垂直在直角三角形 OAE 中利用勾股定理求出 AE 的长为 8 厘米。然后根据 OE 平分 AB 得出 AB 的长度为 16 厘米。