师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们一起学习初中数学北师大版九年级上册第二章第六节应用一元二次方程第一课时。同学们想一想，通过前面的学习，解一元二次方程有哪些方法呢？配方法，包括直接开平方法、公式法、因式分解法。大家再回忆一下七年级学的列一元一次方程解应用题分几步。第一步，审题，关键是找准等量关系；第二步，设出未知数；第三步，列方程；第四步，解方程；第五步，作答。
同学们还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离为8米。梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米。也就是如下图，通过计算可知，梯子顶端由A到D，AD长1米，梯子底端由B到E，BE长大于1米。
现在问题来了，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离为8米。当梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
讨论一：怎么设未知数呢？我们可以直接设梯子顶端下滑的距离AD为x米，则梯子底端滑动的距离BE也为x米。在这个问题中存在怎样的等量关系呢？梯子滑动后，DC的平方加CE的平方等于DE的平方，且梯子滑动前后长度不变，AB = DE = 10米。如何利用勾股定理来列方程呢？在直角三角形DCE中，利用设出的未知数表示出DC和CE的长度，利用等量关系“DC的平方加CE的平方等于DE的平方”即可列方程。
具体解题过程如下：设AD = x米，则BE = x米。在直角三角形ABC中，由勾股定理得BC = √(AB2 - AC2) = √(102 - 82) = 6米。在直角三角形CDE中，CE2 + CD2 = DE2，即(6 + x)2 + (8 - x)2 = 102，解得x? = 2，x? = 0。显然x? = 0不符合题意，舍去。答：梯子顶端下滑两米时，梯子底端下滑的距离与它相等。
二、如果梯子长度是13米，梯子顶端与地面的垂直距离为12米，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，这个距离是多少呢？同学们按下暂停键，思考如何设未知数，等量关系又是什么呢？
假设能相等，设AD = y米，则BE = y米。在直角三角形ABC中，由勾股定理得BC = √(AB2 - AC2) = √(132 - 122) = 5米。在直角三角形CDE中，CE2 + CD2 = DE2，即(5 + y)2 + (12 - y)2 = 132，解得y? = 7，y? = 0，舍去。答：梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等，这个距离是7米。以后遇到此类直角三角形求距地面高度及水平滑动距离的问题，可以根据题干中给出的长度提示，灵活运用勾股定理进行计算，依据所能找出的长度条件列出方程求解。
通过前面的学习，同学们能不能小结一下列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么呢？
生：第一步，审清题意，找等量关系；第二步，设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位；第三步，列代数式，列方程；第四步，解所列的方程；第五步，验是否是所列方程的解，是否符合题意；第六步，答案必须是完整的语句，注明单位。列方程解应用题的关键是找出等量关系。
师：再来看一下这个问题。如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC上，且恰好处于小岛D的正南方向。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航。一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
一、小岛D与小岛F相距多少海里？由题意可知，F位于D的正南方向，D是AC的中点，可以得到DF是三角形ABC的中位线，就可以求出DF的长度了。
具体解题过程如下：连接DF，因为AD = CD，BF = CF，所以DF是三角形ABC的中位线，所以DF平行于AB，且DF = 1/2AB。因为AB垂直于BC，AB = BC = 200海里，所以DF垂直于BC，DF = 100海里。答：小岛D与小岛F相距100海里。
二、已知军舰的速度是补给船的二倍。军舰在由B到C途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）同学们按下暂停键，思考这样四个问题：一、要求DE的长，需要如何设未知数？二、怎样建立含DE未知数的等量关系，从已知条件中能找到吗？三、利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？四、选定直角三角形DEF后，三条边长都是已知的吗？DE、DF、EF分别是多少？
通过分析题意可知题目中的量与量存在这些关系：速度等量，军舰的速度是补给船速度的2倍；时间等量，军舰航行的时间等于补给船航行的时间；三边数量关系，EF2 + FD2 = DE2，AB = BC = 200海里，DE表示补给船的路程，AB + BE表示军舰的路程。
由于军舰速度是补给船速度的2倍，所以可以设相遇时补给船航行了x海里，那么DE = x海里，军舰航行的路程AB + BE = 2x海里，EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x)海里。在直角三角形DEF中，根据勾股定理，可得方程x2 = 1002 + (300 - 2x)2，整理得3x2 - 1200x + 100000 = 0。解方程得x? = 200 - 100√6 / 3 ≈ 118.4，x? = 200 + 100√6 / 3，x?不符合题意，舍去。答：相遇时补给船航行了118.4海里。