师：同学们，大家好。今天让我们一起来学习初中数学，人民教育出版社八年级下册第十八章平行四边形全章小结的第一课时。本节课，我们将一起回顾反思这一章所学的主要内容和蕴含的数学思想，思考这些内容的获得过程与方法，构建本章的知识体系。
上课前，请大家拿出两个全等且有 30 度角的三角板拼四边形，看看能拼出多少种不同的四边形？
生：（操作后）拼出了四种不同的四边形。
师：对，大家应该能拼出这四种。我们先看，图一是一般的四边形，图 2、图 3、图 4 是特殊的四边形，它们都是平行四边形，而图 4 又是特殊的平行四边形——矩形。请大家回忆一下，我们学习平行四边形这一章节时，是不是按照从四边形到特殊的四边形，从平行四边形再到特殊的平行四边形，这样从一般到特殊的次序去学习的呢？以后学习和研究别的几何图形，也可以采用类似的研究思路。
老师想问，这一章我们学习了哪些特殊的四边形呢？
生：有平行四边形、矩形、菱形、正方形。
师：非常好。那你能说出这四种平行四边形的性质是什么吗？
生：平行四边形，对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，是中心对称图形。矩形对边平行且相等，四个角都为直角，对角线相等且互相平分，是中心对称图形，也是轴对称图形。菱形对边平行，四条边都相等，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分，每条对角线都平分一组对角，是中心对称图形，也是轴对称图形。正方形对边平行，四条边相等，四个角都为直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，是中心对称图形，也是轴对称图形。
师：很棒。归纳了平行四边形的性质后，那这几种平行四边形它们的判定定理分别是什么呢？首先看平行四边形的判定定理，由定义可知，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形。再看矩形的判定定理，根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。菱形的判定定理又有哪些呢？由菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。根据正方形的定义，我们可以将正方形的判定定理理解为：一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
同学们，总结了这些特殊四边形的性质和判定定理，那你能归纳出这几种特殊四边形之间存在什么样的关系吗？如果一个四边形，添上“两组对边平行”这个条件，就变成了平行四边形。在平行四边形的基础上，添上什么条件可以使它变成一个矩形呢？
生：使其中有一个角是直角。
师：对。那在平行四边形基础上，添加什么条件可以使它变成菱形呢？
生：添加有一组邻边相等。
师：很好。在平行四边形基础上，添加什么条件又能使它变成正方形呢？
生：既保证有一个角是直角，且有一组邻边相等。
师：那矩形和正方形之间又有什么样的联系呢？
生：如果一个矩形有一组邻边相等，那么它就是正方形；如果菱形有一个角是直角，那么这个菱形也是正方形。
我们除了学习平行四边形的性质和判定定理之外，还了解了其他几个重要的概念和性质。第一个，两条平行线之间的距离。两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。观察图形，直线 a 平行于直线 b，点 A 是直线 a 上任意一点，AB 垂直于直线 b，B 是垂足，则线段 AB 的长就是直线 a 和直线 b 之间的距离。我们还学习了三角形的中位线定理。三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。在这个图形当中，我们可以用几何语言归纳：因为 DE 是三角形 ABC 的中位线，所以 DE 平行于 BC，DE 等于 1/2 倍的 BC。我们在学习矩形的性质中得到了直角三角形一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。看这个图，符号语言可以这样描述：因为在直角三角形 ABC 中，角 ACB 等于 90 度，CD 是斜边 AB 上的中线，所以 CD 等于 1/2 倍的 AB。
同学们，通过上述的复习和回顾，相信大家对本章的知识体系有了清晰的认知。下面让我们一起进入实战环节，看与平行四边形的性质与判定有关的例题。例一，如图，在周长为 20 厘米的平行四边形 ABCD 中，AB 不等于 AD，AC、BD 相交于点 O，OE 垂直于 BD，交 AD 于 E，则三角形 ABE 的周长为多少呢？请同学们拿起笔，自己先动手做一做。
（学生做题）
师：现在我们一起来分析这道题。因为在平行四边形 ABCD 中，OB 等于 OD，题目中又告诉我们 OE 垂直于 BD，所以 OE 垂直平分 BD。根据垂直平分线的性质，我们可以得到 EB 等于 ED。要求三角形 ABE 的周长，即 AB + AE + BE，而 BE 等于 DE，所以可以把 BE 转化为 ED，这时式子就等于 AB + AD。平行四边形的周长是 20 厘米，所以三角形 ABE 的周长应该用 20 乘以 1/2 等于 10 厘米，所以这道题选 D 选项。老师想问一下，你认为这道题解题的关键是什么？又运用了哪些重要的定理和性质呢？
生：在这道题当中，要善于转化，并且充分利用平行四边形对角线互相平分、垂直平分线性质定理来解题。
师：非常好。下面我们来看一下例 2。如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，延长 AC 两端至 E、F，使 AE 等于 CF，过点 O 画 GH 交 AD 于 G，交 BC 于 H，依次连接 EH、FG。求证四边形 EHFG 是平行四边形。请同学们拿起笔，自己先动手做一做这道题。
（学生做题）
师：让我们求证四边形 EHFG 是平行四边形，就要联想到平行四边形的判定方法，充分利用题目中的信息进行解答。在平行四边形 ABCD 中，根据平行四边形对角线互相平分，我们可以得知 OA 等于 OC。又因为 AD 平行于 BC，所以根据两直线平行内错角相等，可知角 1 等于角 2，角 3 等于角 4。在三角形 AGO 和三角形 COH 中，根据角边角，可以证得这两个三角形全等。根据全等三角形对应边相等，于是 OH 等于 OG。再仔细观察，题目中已知 AE 等于 CF。因为 OE 等于 AE + OA，OF 等于 CF + OC，所以我们得到 OE 等于 OF。根据对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，我们可以得到四边形 EHFG 是平行四边形。同学们，这道题你学会了吗？