师：同学们好，请准备好学习用品。今天由我带领大家学习一元二次方程的解法第一课时。下面进入新课，首先温故知新，复习前面几节课的内容。之前我们学习了一元二次方程的相关概念，含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程就是一元二次方程，它的一般形式是$ax2 + bx + c = 0$，注意二次项系数$a$不能为0。
那一元二次方程该如何求解呢？来看一组填空：什么数的平方等于9？什么数的平方等于$\frac{16}{25}$？什么数的平方等于0？
生：第一个填正负3，第二个填正负$\frac{4}{5}$，第三个填0。
师：对，大家有没有发现，我们上面填的这些数分别都是某个数的平方根。回忆一下平方根的定义，如果一个数的平方等于$a$，那么这个数就叫做$a$的平方根，也叫二次方根。平方根有哪些性质呢？
生：一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
师：好，进入题组A。看解方程$x2 = 9$，这个方程是一元二次方程，怎么求解呢？我们可以把它转化成什么数的平方等于9，这里的$x$实际上就是9的平方根，所以$x$等于正负3，写成$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。这里要注意，我们用下标1、2来区别方程的解，这样就得到方程的两个实数解了。再看如果方程是$x2 - 9 = 0$，又该如何求解？
生：把9移到右边，变成$x2 = 9$，和第一个方程一样，$x$就是正负3，方程的两个实数解就是$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
师：很好。那如果方程是$x2 + 9 = 0$，会解吗？
生：将9移项到右边，得到$x2 = -9$，$x$不再是正负3，因为任何数的平方都是非负数，而 -9小于0，所以这个方程没有实数解。
师：把题组A的三道题综合起来看，发现都能转化成$x2 = a$的形式。当$a \geq 0$时，利用平方根的定义，$x = \pm\sqrt{a}$，方程就有两个实数解$x_1 = \sqrt{a}$，$x_2 = -\sqrt{a}$；当$a < 0$，因为任何数的平方都大于等于0，所以方程没有实数解。由此，我们得到今天课程的主题——直接开平方法。形如$x2 = a$（$a \geq 0$）的方程，根据平方根的定义解得$x_1 = \sqrt{a}$，$x_2 = -\sqrt{a}$，这种解一元二次方程的方法就叫直接开平方法。
我们把难度升级一点，这个方程会解吗？$2x2 = 18$怎么办？
生：两边同时除以2，变成$x2 = 9$，就得到两个实数解$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
师：对。看第二题，解方程$2x2 - 18 = 0$呢？
生：先把 -18移到右侧，得到$2x2 = 18$，两边同时除以2，系数化为1，得到$x2 = 9$，又回到第一题，方程的两个解就是$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
师：很好。再看解方程$2x2 + 3 = 21$。
生：先将3移到右侧，得到$2x2 = 21 - 3 = 18$，系数化为1，两边同时除以2，得到$x2 = 9$，也能得到方程的两个解$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
师：把题组B的三道题汇总一下，发现通过刚才的解法，还是把它们化为$x2 = a$的形式。如果$a \geq 0$，就直接开平方；如果$a < 0$，原方程就没有实数解。来看题组C第一题，解方程$3(x - 1)2 = 27$，怎么办？
生：把左边$x - 1$看成整体，系数化为1，两边同时除以3，得到$(x - 1)2 = 9$，然后直接开平方，$x - 1 = \pm3$，得到$x - 1 = 3$或者$x - 1 = -3$两个一元一次方程。$x - 1 = 3$时，$x_1 = 3 + 1 = 4$；$x - 1 = -3$时，$x_2 = -3 + 1 = -2$。
师：非常好。看第二题，解方程$3(2x - 1)2 - 27 = 0$，如何求解？
生：和前面类似，把$2x - 1$看成整体，将 -27移到右边，得到$3(2x - 1)2 = 27$，系数化为1，$(2x - 1)2 = 9$，直接开平方，$2x - 1 = \pm3$，转化成两个一元一次方程$2x - 1 = 3$或者$2x - 1 = -3$。$2x - 1 = 3$时，$2x = 4$，$x_1 = 2$；$2x - 1 = -3$时，$2x = -2$，$x_2 = -1$。
师：很棒。再看第三题，解方程$4x2 - 4x + 1 = 3$。大家看，这个方程左边是二次三项式，可以怎么变形？
生：运用完全平方差公式，左边变成$(2x - 1)2$，方程就是$(2x - 1)2 = 3$，把$2x - 1$看成整体，直接开平方，$2x - 1 = \pm\sqrt{3}$，$2x = 1 \pm\sqrt{3}$，系数化为1，$x = \frac{1}{2} \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，方程的两个解分别是$x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$。
师：总结题组C的三道题，发现它们都符合$(ax + b)2 = c$这样的形式，注意这里$a \neq 0$，$c \geq 0$。满足这种形式时，用整体思想直接开平方，得到$ax + b = \pm\sqrt{c}$，进而$ax = -b \pm\sqrt{c}$，方程的两个解就是$x_1 = \frac{-b + \sqrt{c}}{a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{c}}{a}$。
举一反三，解这样一个方程$(x - 4)2 = (5 - 2x)2$，怎么办？
生：用整体思想两边直接开平方，得到$x - 4 = \pm(5 - 2x)$，转化成两个一元一次方程$x - 4 = 5 - 2x$或者$x - 4 = -(5 - 2x)$，也就是$x - 4 = 2x - 5$。解第一个方程，$-2x$移到左边，$3x = 5 + 4 = 9$，$x_1 = 3$；解第二个方程，$x = -4 + 5 = 1$，方程的两个解分别是$x_1 = 3$，$x_2 = 1$。
师：对于形如$(ax + b)2 = (cx + d)2$的形式，完全可以用整体思想进行开方，把一元二次方程转化成两个一元一次方程进行降次，转化成熟悉的形式求解。
我们进行知识提炼。如果一个一元二次方程能转化成一边是含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，就可以利用直接开平方法将一元二次方程降次，转化成一元一次方程求解。注意，右边必须是非负数，如果右边是负数，原方程就没有实数解。来做一组主题训练，判断下列一元二次方程能否用开平方法求出解，如果可以，请求出解，不能，请说明理由。
$x2 = 2$，可不可以？
生：可以，两边直接开平方，$x = \pm\sqrt{2}$，两个解分别是$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$。
师：$p2 - 49 = 0$，可不可以直接开平方求解？
生：可以，$p2 = 49$，直接开平方，$p = \pm7$，两个解是$p_1 = 7$，$p_2 = -7$。
师：$2x2 = 1$，可不可以？
生：可以，两边系数化为1，$x2 = \frac{1}{2}$，直接开平方，$x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
师：$(5x + 9)2 + 16 = 0$，可不可以？
生：把5x + 9看整体，移项后是$(5x + 9)2 = -16$， -16小于0，任何数的平方都是非负数，所以原方程不可以用直接开平方法求解，原方程无实数解。
师：$21 - (y + 3)2 = 0$，这个呢？
生：可以，移项得到$(y + 3)2 = 21$，直接开平方，$y + 3 = \pm\sqrt{21}$，$y + 3 = \sqrt{21}$时，$y_1 = \sqrt{21} - 3$；$y + 3 = -\sqrt{21}$时，$y_2 = -\sqrt{21} - 3$。
师：一道进阶题，下面是一位同学解答一元二次方程的具体过程，这个解答过程是否正确，请说明理由。解方程$(x - 1)2 = k$，他先移项$(x - 1)2 = k$，然后第二步直接开方$x - 1 = \pm\sqrt{k}$，于是得到$x = 1 \pm\sqrt{k}$，对不对呢？
生：不对，直接开平方要求左边是含未知数的完全平方形式，右边是一个非负数，这里右边的$k$没说是非负数，需要进行讨论。
师：非常好，如果$k \geq 0$，可以按照上述做法得到$x = 1 \pm\sqrt{k}$；如果$k < 0$，方程就没有实数解，所以他的解答是错误的，需要对$k$进行讨论。
今天我们小结一下所学内容。今天学习的是直接开平方法，从概念、适用类型、一般步骤三个方面进行了学习。直接开平方法是根据平方根的定义求解一元二次方程的方法，当方程一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数时，就可以用直接开平方方法求解这类方程。一般按照移项、开方、求解这样的步骤进行。用口诀总结一下：左平方右非负，开平方求未知数，二次方程有实根，两根分别写清楚。一定要记住，左边是平方，右边是非负，才能用直接开平方方法。最后这是今天的课后任务，请大家按要求完成。以上就是本节课的所有内容，大家学会了吗？