师：好，同学们好，我们今天继续学习数学。上一节课遗留了个问题，大家能用几何图形直观地解释((3B)^2 = 9B^2)吗？
师：来看正确答案。我们可以构造一个边长为(3B)的正方形，这样符合等式左边((3B)^2)的形式。怎么说明它等于(9B^2)呢？把这个正方形每条边三等分，就分成了(9)个全等的小正方形，每个小正方形边长为(B)。这个活动体现了数学中常用的数形结合思想，大家好好感受一下。
师：到昨天为止，有关幂的运算我们学了哪些呢？大家快速回忆一下，记不清楚的同学也可以翻书看看。按照顺序，首先是同底数幂相乘，底数不变，指数相加；第二是幂的乘方，底数不变，指数相乘；第三是积的乘方，等于每一个因式乘方的积。今天我们要继续研究幂的运算。
师：先看一个生活中的有趣例子。一种液体每升含有(10^{12})个有害细菌，科学家试验发现，一滴杀菌剂可以杀死(10^{9})个这种细菌。要全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？大家拿出练习本，想一想怎样列式计算，准备用加减乘除哪种运算？
生：应该选择除法，用(10^{12}\div10^{9})。
师：这个除法怎么算呢？结合式子特点，假如第一节课学的叫同底数幂的乘法，大家觉得这个运算该叫什么？
生：同底数幂的除法。
师：那怎么算呢？试一试。
生：把除号写成分数线，根据幂的意义，(10^{12})就是(12)个(10)相乘，(10^{9})是(9)个(10)相乘，然后约分，分子就剩下(3)个(10)相乘，结果就出来了。
师：这是方法一，有没有同学有其他办法？大家想一想。老师和大家合作一下，也可以这样做，除号写成分数线，分母(10^{9})，分子指数(12)，为了便于约分，(12)拆成几加几比较好？
生：拆成(9 + 3)。
师：下一步利用前两天学的哪个公式的逆用呢？
生：同底数幂的乘法。
师：对，就是(10^{9}\times10^{3}\div10^{9})。这样分子分母约分，两种方法结果一样。这就是最简单的同底数幂的除法。
师：我们增大一点点难度，把指数换成字母，感受一下逐渐一般化的过程。同学们仿照刚才的办法，猜想一下第一小题的结果。
生：底数(10)不变，指数相减。
师：第二小题大家做做看。
生：底数(( - 3))不变，指数(m)减(n)。
师：同学们能不能仿照同底数幂的乘法，把底数也换成字母，用字母表示同底数幂除法运算的法则？
生：(a^{m}\div a^{n}=a^{m - n})。
师：中间推理过程我们再学习一遍，这是严密的推理。首先把除号改写成分数线，方便约分，分子(a^{m})根据幂的意义写成(m)个(a)相乘，分母写成(n)个(a)相乘。这里有个前提，(m)要大于(n)。分子分母约分后，分子还剩((m - n))个(a)，根据幂的意义，就成功推导出同底数幂的除法法则。注意括号条件。同学们把数学书翻到第(9)页，最下面蓝色方框有两个填空，试着填一填：同底数幂相除，底数怎么样，指数相减？
生：底数不变，指数相减。
师：同学们感受一下，在这个公式中隐含着转化思想，左边是除法，到右边转化成了指数相减，除法转化成了减法。这里括号的要求稍微多一些，(a)不等于(0)，(m)、(n)都是正整数，且(m)大于(n)。我们看看等会是不是有办法让要求简单一些。老师和大家再来理一下法则推导过程。大家看数学书第(9)页中间，这个推导过程体现了什么？
生：类比数的运算，得到字母为底的幂的运算，这是类比方法；从数的运算过渡到字母运算，是从特殊到一般的归纳方法。
师：法则有了，我们来练练。看这(4)小题，首先对号入座，看是不是满足法则左边底数相同，中间是除号连接，同底数幂相除，这样就可以用法则，“底数不变，指数相减”这(8)个字。第一小题很简单。
生：（完成第一小题）
师：第二小题有个小麻烦，底数是(-x)，做到这步以后，建议再多一步。因为负数的奇次幂还是负的，所以可以把括号去掉，最终结果写成(-x^{3})更简单。
生：（完成第二小题）
师：第三小题要注意，底数是(xy)这个整体，指数相减。做到这做完了吗？结果是不是最简结果？
生：这是昨天学的积的乘方，还要再来一步，等于每个因式乘方的积。
师：第四小题指数相减，最后最终结果(b^{n})。这是同底数幂的除法运算。提醒两点，首先最终结果，尤其是(2)、(3)两小题，必须是最简的。另外，通过这(4)小题，和前面几个公式一样，同学们要感受公式中底数(a)的广泛含义，它可以代表数字、字母、单项式，也可以是复杂的多项式。同学们把数学书翻到第(10)页，快速完成第(10)页中间“做一做”左边竖列(4)小题，就是屏幕上的，先填这(4)小题。
生：（完成(4)小题，(10^{3})，(100 = 10^{2})，(10 = 10^{1})）
师：如果觉得这(4)小题简单，注意观察数列的四个等式，左边结果有什么特点，等号右边乘方形式又有什么特点？大胆猜想一下，这(4)小空该怎么填？
生：左边从上往下相邻两个数缩小为上一个的(\frac{1}{10})，右边底数都是(10)，前(4)小题指数由(4)到(3)到(2)到(1)依次减少(1)，猜想这(4)小空依次是(0)，(-1)，(-2)，(-3)。
师：大家看猜想有没有道理。先看左边每下一个数比上一个数缩小为它的(\frac{1}{10})，再看右边底数相同，指数依次减少(1)。再来一组，底数变成(2)了。前三空很简单，直接写(2^{3})，(2^{2})，(2^{1})。同学们大胆猜想后面的空。
生：还是观察(8)个等式，左边每下一个比上一个缩小为它的(\frac{1}{2})，右边乘方底数相同，指数前四个(4)、(3)、(2)、(1)依次减少，猜想后面依次填(0)，(-1)，(-2)，(-3)。
师：完成这一堆式子后，找一找隐含的规律。先观察这两个算式，有什么发现？
生：(10^{0}=1)，(2^{0}=1)。
师：所以我们规定(a^{0}=1)，当然有个要求，底数(a)不能为(0)。继续观察这三个算式，老师多写一步，(0.1)写成分数是(\frac{1}{10})，(10)右上角指数省略不写，实际指数是(1)；(0.01)写成分数是(\frac{1}{100})，(100)是(10)的(2)次方；(0.001)写成分数是(\frac{1}{1000})，(1000)是(10)的(3)次方。大家有什么猜想结果吗？再看这(3)小题，(2^{-1}=\frac{1}{2})，分母(2)是(2)的一次方；(2^{-2}=\frac{1}{4})，分母(4)可以写成(2)的平方；(2^{-3}=\frac{1}{8})，分母(8)是(2)的(3)次方。
生：好像任何不等于(0)的数的负整数次幂，等于它的正整数次幂的倒数。
师：对，我们直接给出规定。规定(a^{0}=1)，条件是底数(a)不为(0)，用文字叙述就是任何不等于(0)的数的(0)次幂都等于(1)。第二个规定，(a^{-p}=\frac{1}{a^{p}})，其中(a)不等于(0)，(p)是正整数。用文字叙述比较绕口，大家不用死记硬背，记住公式会用就行，也就是任何不等于(0)的数的负整数次幂，等于它的正整数次幂的倒数。第一个规定习惯称为(0)指数幂，第二个规定习惯称为负整数指数幂。记住两个公式并会用就(OK)。接着我们来用一用，准备好练习本，用小数或分数表示下列个数。