师：同学们好，欢迎来到数学课堂。这节课我们来学习等比数列的第二课时。下面先来熟悉本节课的学习目标：
探索等比数列通项公式的图像特征，以及与指数函数之间的关系，体会数列是一种特殊的函数。
理解等比中项概念，能够利用等比中项概念和性质解决问题，提升数学运算能力。
结合等差数列的性质，猜想并证明等比数列的相关性质。通过对等比数列性质的探究，培养逻辑推理素养。
在学习新课之前，我们先来回顾一下上一节课所学的主要内容：
等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。要判定数列是等比数列，只需证明(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}})等于一个不为(0)的常数即可。
等比数列的通项公式：(a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1})，其中首项(a_{1})不能为(0)，公比(q)也不能为(0)。我们还推导出了等比数列通项公式的另外一种表示形式(a_{n} = a_{m} \times q^{n - m})。
结合等比数列通项公式的结构特征，由此我们可以联想到指数函数。同学们，你能根据指数函数的单调性探究出等比数列的单调性吗？这就是本节课我们要学习的第一个内容——等比数列的单调性。
下面我们来看问题一，请同学们思考通项公式(a_{n} = 2^{n - 1})的等比数列，它的图像和函数(y = 2^{x - 1})的图像之间的关系。
我们知道函数(y = 2^{x - 1})，定义域是(R)，是个增函数，图像是上升的。(a_{n} = 2^{n - 1})，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集。由此我们可以发现，该等比数列的图像就是函数(y = 2^{x - 1})图像上一系列孤立的点。由此你能发现等比数列的图像特征与指数函数之间的关系吗？
为了研究问题的方便，我们不妨先令这个等比数列的首项(a_{1} > 0)、公比(q > 0)且(q \neq 1)。这个等比数列通项公式我们可以把它整理成(a_{n} = \frac{a_{1}}{q} \times q^{n})，而函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})。
这个函数我们可以认为是由常数(\frac{a_{1}}{q})与指数函数(q^{x})构成。函数的定义域是(a_{1} > 0)，公比(q > 0)且(q \neq 1)。我们不难发现，当(a_{1} > 0)，公比(q > 1)时，结合复合函数的单调性可知，函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})是个增函数，图像是上升的。当(a_{1} > 0)，公比(0 < q < 1)时，函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})是个减函数，图像是下降的。(a_{n} = \frac{a_{1}}{q} \times q^{n})，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集。由此我们可以发现，该等比数列的图像就是函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})图像上一系列孤立的点。由此我们就可以根据函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})这个函数的单调性来判断等比数列的单调性。
当公比(q > 0)时，你能结合这个发现得到等比数列的单调性吗？我们来看问题三。
结合问题一、二的探究，我们可以知道，可以根据函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})这个函数的单调性来判断等比数列的单调性。我们发现，当公比(q = 1)时，无论(a_{1} > 0)还是(a_{1} < 0)，它都是个常数列，不具有单调性。
当(a_{1} > 0)，公比(0 < q < 1)时，结合问题二的探究，我们知道函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})是个减函数，因此这个数列是个递减数列。
当(a_{1} > 0)，公比(q > 1)时，这个函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})是个增函数，因此这个数列是个递增数列。
当(a_{1} < 0)时，这个等比数列的单调性又是怎样的呢？
是的，我们仍然可以借助函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})这个函数的单调性来研究这个等比数列的单调性。我们知道，如果(a_{1} < 0)，公比(0 < q < 1)，(\frac{a_{1}}{q})是个负数，(q^{x})是个减函数，因此函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})是个增函数，所以这个数列是个递增数列。
当(a_{1} < 0)，公比(q > 1)时，(\frac{a_{1}}{q})是个负数，(q^{x})是个增函数，所以函数(y = \frac{a_{1}}{q} \times q^{x})是个减函数，所以数列是个递减数列。
同学们，如果这个等比数列的公比(q < 0)，那么它的单调性又如何呢？
如果这个等比数列公比(q < 0)，结合指数幂的运算，我们可以知道(q^{n})的正负还取决于(n)的奇偶性。我们不难发现，这个等比数列中各项的值要么是正负相间，要么是正负交替，这个数列中的各点相对横轴上下摆动，它既不递增也不递减。因此当公比(q < 0)时，这个等比数列它不具有单调性，它是个摆动数列。
通过我们对等比数列单调性的探究，我们可以知道等比数列是一个特殊的函数。研究等比数列的单调性，我们就可以从函数的角度去认识等比数列的单调性。
等差数列中还有哪些性质呢？请看问题四，类比等差中项，在(a)、(b)中插入一个数(G)，使得(a)、(G)、(b)成等比数列，你能得出什么结论？
类比等差中项，我们可以得到(G)是(a)与(b)的等比中项，结合等比数列的定义，我们可以发现(\frac{G}{a} = \frac{b}{G})。因此，如果(G)是(a)、(b)的等比中项，那么(G^{2} = ab)。
显然，在等比数列中，除首末两项以外，每一项都是它前后两项的等比中项。由此我们就可以得到等比数列中一个重要的性质：若({a_{n}})是等比数列，则(a_{n + 1}^{2} = a_{n} \times a_{n + 2})。
为了加深同学们对等比中项概念的理解，我们来看三道判断题：
任意两个不为(0)的实数都有等比中项。结合等比中项的概念可知，如果两个不为(0)的实数有等比中项，它们是同号的。因此同号的两个实数才有等比中项，异号的两个实数没有等比中项，故一是错误的。
若两个数存在等比中项，则它们的等比中项唯一。由等比中项的概念可知(G^{2} = ab)，(G = \pm\sqrt{ab})，我们可以发现，如果两个数存在等比中项，那么它们的等比中项不为一，而且互为相反数，因此二也是错误的。
若(G^{2} = ab)，则(a)、(G)、(b)成等比数列。我们看到如果(a)、(b)、(G)都等于(0)，满足(G^{2} = ab)，但(a)、(G)、(b)不成等比数列。因此由(G^{2} = ab)，推不出(a)、(G)、(b)成等比数列，故三也是错误的。
那么同学们，如果(G^{2} = ab)，(a)、(b)、(G)还满足什么条件时，才能得出(a)、(G)、(b)成等比数列呢？
是的，当(a)、(b)、(G)都不等于(0)时，由(G^{2} = ab)，我们可以根据等比数列定义，发现(a)、(G)、(b)是成等比数列的。由此我们可以得到在等比数列中一个重要的结论：在数列({a_{n}})中，数列({a_{n}})是等比数列等价于(a_{n + 1}^{2} = a_{n} \times a_{n + 2})（(a_{n} \neq 0)）。
我们看到这个地方使用等价关系。因此，如果(a_{n} \neq 0)，满足(a_{n + 1}^{2} = a_{n} \times a_{n + 2})，我们即可判定这个数列是等比数列。由此我们得到了判定一个等比数列的另外一种方法，我们称之为等比中项法。
那么在等比数列中蕴含着丰富的性质，等比数列中还有哪些性质呢？我们来看问题：在等差数列中，若(m + n = p + q)，则有(a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q})。类比等差中项性质，在等比数列中能猜想出什么结论？
我们看到等差数列中是和的形式，那么在等比数列中，同学们你可以猜想一下。
是的，我们可以猜想出在等比数列({a_{n}})中，若(m + n = p + s)，则有(a_{m} \times a_{n} = a_{p} \times a_{s})。
下面我们就来证明我们的猜想是否正确。
我们可以设这个等比数列公比为(q)，结合等比数列通项公式，我们可以得到(a_{m} = a_{1} \times q^{m - 1})，(a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1})，因此(a_{m} \times a_{n} = a_{1}^{2} \times q^{m + n - 2})。同理，(a_{p} \times a_{s})也可以用这个等比数列的首项和公比来表示，因此(a_{p} \times a_{s} = a_{1}^{2} \times q^{p + s - 2})。
又因为(m + n = p + s)，所以(a_{m} \times a_{n} = a_{p} \times a_{s})，故我们的猜想是正确的。
由此我们就证明了我们的猜想是正确的，我们就可以得到等比数列中一个重要的性质：在等比数列({a_{n}})中，若(m + n = p + s)，则有(a_{m} \times a_{n} = a_{p} \times a_{s})。特别的，当(p = s)时，满足(m + n = 2s)，则有(a_{m} \times a_{n} = a_{s}^{2})。
我们学习了等比数列的单调性，学习了等比中项概念，得到等比数列中两个重要的性质。下面我们就来看这一性质在具体问题中的应用。
请看例1：在数列({a_{n}})中，(a_{n} < 0)，各项都是负数，若(2a_{n} = 3a_{n + 1})，且(a_{2} \times a_{5} = \frac{28}{7})，求证数列({a_{n}})是等比数列，并求出通项。
结合等比数列定义，要判定数列是等比数列，我们只需证明(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}})等于一个不为(0)的常数即可。
由(2a_{n} = 3a_{n + 1})且(a_{n} < 0)，我们可以得到(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{2}{3})，因此数列({a_{n}})就是公比为(\frac{2}{3})的等比数列。
要求出通项还需要知道首项，由(a_{2} \times a_{5} = \frac{28}{7})，我们就可以建立关于(a_{1})的方程。
我们看到(a_{2} = a_{1}q)，(a_{5} = a_{1}q^{4})，把公比(q = \frac{2}{3})代入，我们可以得到(a_{1} \times (\frac{2}{3})^{4} = \frac{28}{7})。整理可得(a_{1}^{2} = (\frac{3}{2})^{2})，又(a_{n} < 0)，所以(a_{1} = -\frac{3}{2})。
首项知道，公比知道，因此这个等比数列通项公式记为(a_{n} = -\frac{3}{2} \times (\frac{2}{3})^{n - 1})。
我们看第二小问：(-\frac{16}{81})是这个等比数列的项吗？如果是，指明第几项？如果不是，请说明理由。
根据等比数列的定义可知，对于这种存在性问题，我们可以先假设(-\frac{16}{81})是这个等比数列中的某一项，根据通项公式建立方程，解方程即可。
下面我们来看具体的解答过程，我们设(a_{n} = -\frac{16}{81})。结合第一问，我们可以得到(-\frac{3}{2} \times (\frac{2}{3})^{n - 1} = -\frac{16}{81})，它等于(-\frac{3}{2} \times (\frac{2}{3})^{4})。我们解这个指数方程可以得到(n - 1 = 4)，故(n = 5)，所以(-\frac{16}{81})是这个等比数列中的第(5)项。
由这个问题的解决过程我们可以看到，要证明数列是等比数列，我们只需证明(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}})等于不为(0)的常数即可。解决通项公式问题，我们需要知道首项和公比，求首项和公比往往需要建立关于首项与公比的方程或方程组。
下面我们来看例2：
第一问，设(x)，(2x + 2)，(3x + 3)成等比数列，求(x)。请同学来思考一下这个问题如何来解决呢？
我们看到(x)，(2x + 2)，(3x + 3)成等比数列，我们可以利用等比数列的定义以及等比中项来解决。我们如果利用等比中项来解决，我们可以建立关于(x)的方程，解方程即可。
下面我们看具体的解答过程：
由等比中项的性质，可得((2x + 2)^{2} = x \times (3x + 3))。我们解这个方程可以得到(x = -1)或(x = -4)。
又因为等比数列中不可能含为(0)的项，因此我们发现当(x = -1)时，(2x + 2 = 0)，故(x = -4)。
由这个问题的解决过程，我们可以发现由(G^{2} = ab)，要判定(a)、(G)、(b)成等比数列，需要考虑各项不能为(0)。
我们看第二小问，在数列({a_{n}})中满足(a_{n + 1}^{2} = a_{n} \times a_{n + 2})，(a_{n} > 0)，若(a_{3} \times a_{5} = 4)，求前(7)项的积。
我们看到求一个数列中前(7)项的积，我们看这是一个什么类型的数列？满足(a_{n + 1}^{2} = a_{n} \times a_{n + 2})，而且(a_{n} > 0)，结合今天我们所学习的性质，可以知道这是一个等比数列。
一个等比数列前(7)项的积，我们自然可以想到等比中项的性质。
下面我们来看具体的解答过程：
首先我们利用定义可以判断这个数列是各项均为正数的等比数列。利用等比中项的性质可以得到(a_{3} \times a_{5} = a_{4}^{2})。
在等比数列中，(a_{1} \times a_{7} = a_{2} \times a_{6} = a_{3} \times a_{5} = a_{4}^{2})。因此这个等比数列前(7)项的积就可以表示成(a_{4}^{7})的形式。
又(a_{n} > 0)，因此(a_{4} = 2)。结合等比数列性质，前(7)项积就等于(a_{4}^{7} = 2^{7} = 128)。
通过例2的解决，我们可以看到在解决等比数列运算的问题时，利用等比数列性质可以大大简化运算的过程。
下面我们通过两道练习，检测同学们对本节课内容知识的掌握情况。
我们来看第一题，(3)，(-\frac{3}{2})，(x)，(-\frac{3}{8})成等比数列，求实数(x)的值。
对于这个问题，我们可以看到首项是(3)，第二项是(-\frac{3}{2})，因此可以利用等比数列定义去解决，公比就是(-\frac{1}{2})。第三项(x)就等于(-\frac{3}{2} \times (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4})。
可能也有同学想到利用等比中项去处理，如果使用等比中项去解决，我们可以得到(x^{2} = 3 \times (-\frac{3}{8}) = -\frac{9}{8})，此方程无实数解（原内容此处计算错误，((-\frac{3}{2})^{2} = 3x)，解得(x = \frac{3}{4})）。所以(x = \frac{3}{4})。
我们看第二小题，已知三个数成等比数列，积为(1)，第二项与第三项之和为(-\frac{3}{2})，求这三个数。
在等比数列中，已知三个数成等比数列如何来设未知数，能够简化我们的运算。我们可以借助等比中项的性质去设未知数。比如说我们就可以设成(\frac{a}{q})，(a)，(aq)。
利用积为(1)，我们可以得到(a^{3} = 1)，解得(a = 1)。
由第二项与第三项之和为(-\frac{3}{2})，我们可以建立(a)和(aq)的方程(a + aq = -\frac{3}{2})，把(a = 1)代入，解得(q = -\frac{5}{2})。
因此这三个数依次为(-\frac{2}{5})，(1)，(-\frac{5}{2})。
同学们，通过本节课学习，你有哪些收获呢？
通过本节课学习，我们学习了等比数列的单调性，学习了等比中项的概念，以及等比数列中的两条主要的性质。在解决问题的过程中，我们运用了类比、函数思想、方程思想、分类讨论思想。
下面是本节课的课后作业，请同学们课后及时完成。好，本节课到此结束。