师：同学们好。今天我们一起来学习2.12.1节二次函数的图像和性质第五课时。之前，我们首先学习了正比例函数y = KX的图像和性质，接着学习了一次函数y = KX + b的图像和性质。那我们已经学习过哪些类型的二次函数呢？第一种形如y = ax2，第二种形如y = ax2 + k，第三种形如y = a(x - h)2 。对于以上这三种二次函数，它们的图像和性质大家还记得吗？
首先回顾二次函数y = ax2的图像和性质。y = ax2的图像是抛物线，当a > 0时开口向上，a < 0时开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴。增减性呢？对，若a > 0，则当x > 0时，y随x增大而增大；x < 0时，y随x增大而减小。若a < 0，则当x > 0时，y随x增大而减小；x < 0时，y随x增大而增大。
二次函数y = ax2 + k的图像和性质大家也记得吧？抛物线y = ax2 + k可以由抛物线y = ax2向上或者向下平移得到。当a > 0时开口向上，a < 0时开口向下。顶点是(0, k)，对称轴是y轴。同样，若a > 0，则当x > 0时，y随x增大而增大；x < 0时，y随x增大而减小。若a < 0，则当x > 0时，y随x增大而减小；x < 0时，y随x增大而增大。
那y = a(x - h)2的图像和性质当然也记得喽，我们一起来回顾。抛物线y = a(x - h)2可以由抛物线y = ax2向左或者向右平移得到。当a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下。顶点是(h, 0)，对称轴是直线x = h。同样，若a > 0，则当x > h时，y随x增大而增大；x < h时，y随x增大而减小。若a < 0，则当x > h时，y随x增大而减小；x < h时，y随x增大而增大。
同学们，今天我们要学习一种新类型的二次函数。先来看这样一个例子，请在卡纸上画出函数y = - 1/2(x + 1)2 - 1的图像，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。
生：（学生动手操作）
师：好，通过先列表、描点、连线，得出了二次函数y = - 1/2(x + 1)2 - 1的图像。可以看出来它的图像也是抛物线，那由此能得出它的开口方向、顶点坐标以及对称轴吗？
生：它的开口向下，对称轴是直线x = -1，顶点坐标是(-1, -1)。
师：通过对y = - 1/2(x + 1)2 - 1图像的研究，能得出怎样的规律呢？抛物线y = - 1/2(x + 1)2 - 1可以由抛物线y = - 1/2x2怎样平移得到？它的增减性又如何？
生：抛物线y = - 1/2(x + 1)2 - 1可以由抛物线y = - 1/2x2向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到。当x > - 1时，y随x增大而减小；x < - 1时，y随x增大而增大。
师：好，通过以上例子，能解决问题吗？写出将抛物线y = x2向左平移4个单位，再向上平移一个单位，得到的抛物线的解析式，为什么呢？
生：是不是y = 2(x + 4)2 + 1 。
师：再看下面这个问题。二次函数y = -2(x + 1)2 - 4，下列关于它说法正确的是：A.图像开口向上；B.图像的对称轴为直线x = 1；C.图像的顶点坐标为(1, 4)；D.当x < - 1时，y随x的增大而增大。
生：A选项不对，开口向下；B选项也不对，对称轴为直线x = -1；C选项顶点坐标应该是(-1, -4)；D选项正确。
师：好，通过刚才的练习，来看一下抛物线y = a(x - h)2 + k与抛物线y = ax2有怎样的联系呢？抛物线y = a(x - h)2 + k的性质如何呢？
生：抛物线y = a(x - h)2 + k与抛物线y = ax2形状相同，位置不同。把抛物线y = ax2向上或者向下、向左或向右平移，可以得到抛物线y = a(x - h)2 + k。平移的方向以及距离要根据h和k的值来决定。
师：那抛物线y = a(x - h)2 + k的性质又是如何呢？一起来总结一下。依然分为a > 0和a < 0两种情况。当a > 0时，开口向上，对称轴为直线x = h，顶点坐标是(h, k)，此时顶点就是它的最低点，所以当x = h时，y有最小值k，它的增减性是什么样的呢？
生：当x < h时，y随x增大而减小；x > h时，y随x增大而增大。
师：再看a < 0的情况。a < 0，开口向下，对称轴为直线x = h，顶点坐标是(h, k)，此时顶点是它的最高点。所以当x = h时，y有最大值为k，它的增减性如何呢？
生：当x < h时，y随x增大而增大；x > h时，y随x增大而减小。
师：都记住了吗？好，下面来看课本上的练习，写出以下二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标。第一个y = 2(x + 3)2 + 5 。
生：它的开口向上，对称轴为直线x = -3，顶点坐标是(-3, 5)。
师：y = -3(x - 1)2 - 2 。
生：开口向下，对称轴为直线x = 1，顶点坐标是(1, -2)。
师：y = 4(x - 3)2 + 7 。
生：开口向上，对称轴为直线x = 3，顶点坐标为(3, 7)。
师：y = 5(x + 2)2 - 6 。
生：开口向上，对称轴为直线x = -2，顶点坐标为(-2, -6)。
师：同学们，再来看这样一个练习。将抛物线y = 1/2x2先向上平移两个单位，再向左平移m个单位，所得到的新抛物线经过点(-1, 4)。求新抛物线的解析式。
生：根据刚才的学习，可以得到新抛物线的解析式为y = 1/2(x + m)2 + 2 。因为新抛物线经过点(-1, 4)，把(-1, 4)代入到新抛物线的解析式，得到4 = 1/2(-1 + m)2 + 2这样一个一元二次方程。解这个方程可得m? = 3，m? = -1 ，m? = -1不符合题意舍去，因此m = 3。把m = 3还原到新抛物线的解析式中，得到新抛物线的解析式为y = 1/2(x + 3)2 + 2 。
师：下面来看这样一个实际问题，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为一米处达到最高高度为3米，水柱落地处离池中心3米。水管应多长？请同学们思考一下。
生：（思考）
师：我们可以如图建立直角坐标系。点(1, 3)是图中这段抛物线的顶点。因此可设这段抛物线对应的函数是y = a(x - 1)2 + 3，自变量x取值范围是0 ≤ x ≤ 3。图中还有一个点是(3, 0)，因为这段抛物线经过点(3, 0)，所以把(3, 0)代入到刚才的解析式，得到0 = a(3 - 1)2 + 3 。这样就能把a解出来了。
生：解得a = - 3/4 。
师：接下来把a = - 3/4还原到刚才的解析式里面去。
生：得到抛物线的解析式为y = - 3/4(x - 1)2 + 3 。并且当x = 0时，y就等于2.25，也就是说A点坐标就是(0, 2.25)。那么水管的长度不就是OA的长度吗？也就是A点的纵坐标。
师：答，水管长应为2.25米。在今后的学习当中，如果知道了抛物线的顶点坐标，就可以设抛物线的解析式为顶点式，也就是类似于y = a(x - 1)2 + 3这样的式子，然后就可以对应地解出实际问题的答案。在解决实际问题的时候，要先把它转换为数学问题。下面我们一起来把这一节课所学小结一下，这节课学习了哪些内容呢？
生：一、本节课复习了二次函数y = ax2 + k，y = a(x - h)2的图像和性质。
二、归纳得出了二次函数y = a(x - h)2 + k的图像和性质。
三、建立平面直角坐标系，把一个实际问题转化为一个二次函数问题并予以解决。
四、在学习中要学会及时地归纳和总结，学会转化。