师：同学们好，请准备好铅笔、直尺和作业本，马上进入今天的新课内容——初中数学北师大版八年级下册第二章第三课《不等式的解集》。我们先来看今天的学习目标：一是理解不等式的解集、解不等式等概念的含义；二是会在数轴上表示不等式的解集。
我们先复习一下，方程(3X - 5 = 4)的解是什么呢？我们这样求解：(3X - 5 = 4)，移项可得(3X = 4 + 5)，即(3X = 9)，解得(X = 3)。把(X = 3)代入方程(3X - 5 = 4)，会发现方程左边等于右边。所以，方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值。
那么类比方程的解，请大家思考一下，不等式的解指的又是什么呢？我们来看一个问题：燃放某种烟花时，为确保安全，燃放者在点燃引火线后，要在燃放前转移到(10)米以外的安全区域。已知引火线的燃烧速度为(0.02)米每秒，燃放者离开的速度为(4)米每秒，那么引火线的长度应满足什么条件呢？同学们可以思考一下。
我们设引火线的长度为(X)厘米。在这个问题中有两个时间，第一个是燃放者转移到安全区域需要的时间，第二个是引火线燃烧的时间。首先，燃放者转移到安全区域需要的时间至少为多少呢？用距离(10)米除以燃放者离开的速度(4)米每秒，可得(10÷4 = \frac{10}{4})秒。其次，引火线燃烧的时间怎么计算呢？引火线的长度设为(X)厘米，引火线燃烧速度是(0.02)米每秒，要保证单位统一，引火线燃烧的时间为(\frac{X}{0.02×100})秒。
为确保安全，哪个时间应该更长一些呢？很显然，引火线燃烧的时间应该长于燃放者转移到安全区域需要的时间。这样我们就得到一个不等式：(\frac{X}{0.02×100} > \frac{10}{4})。然后解这个不等式，根据不等式的基本性质，可得(X > 5)，所以引火线的长度应大于(5)厘米。
想一想，(X = 5)、(X = 6)、(X = 7.2)能使不等式(X > 5)成立吗？当(X = 5)时，(5 = 5)，(5)不大于(5)，所以不成立；当(X = 6)时，(6 > 5)，成立；当(X = 7.2)时，(7.2 > 5)，也成立。同学们还能找出一些使不等式(X > 5)成立的(X)值吗？比如(X = 8)、(X = 9)、(X = 10)、(X = 100)、(X = 10000)等等，这样的数有无数个。
那么什么是不等式的解呢？能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。(X = 6)是不等式(X > 5)的一个解，(7)、(8)、(9)也是不等式(X > 5)的解。针对这种情况，我们提出了不等式的解集。因为不等式的解有无数个，把这无数个解放在一起，就形成了不等式的解集。那什么是不等式的解集呢？一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式(X + 1 > 5)，大于(4)的数都加(1)，得到的结果都大于(5)，所以不等式(X + 1 > 5)的解集为(X > 4)。又如，正数的平方大于(0)，负数的平方也大于(0)，所以不等式(X2 > 0)的解集是所有的非零实数。
再看解不等式的概念，求不等式解集的过程叫做解不等式。这个概念指明了我们下一步要学习的内容，因为我们现在还没学习解不等式。刚刚讲过，不等式有很多解，把它们放在一起叫做解集。下面我们来看一下不等式的解和不等式的解集的区别与联系。
从定义、特点、形式三方面来看它们的区别。定义方面，不等式的解是满足一个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是满足一个不等式的未知数的所有值，一个是个体，一个是全体。比如(X = 3)是不等式(2X - 3 < 7)的一个解，而(X < 5)是不等式(2X - 3 < 7)的解集。它们的联系是，某个解一定是解集中的一个，解集一定包括了某个解。
为了研究问题方便直观，数学中发明了一种更好的表示解集的方法——在数轴上表示。你能用自己的方式将(X > 5)的解集表示在数轴上吗？同学们可以思考一下。既然是在数轴上表示，就要先画一条数轴，画数轴要注意坐标轴的三要素：原点、单位长度、正方向，这在七年级我们已经学过。画完数轴后找到(5)这一点，然后画一个空心圆圈，不要太大，清楚就行。因为(X > 5)的数都在(5)的右侧，所以从(5)开始向右画一条折线，这样就把大于(5)的数都放在了这条折线的下方，很清楚、很直观地表示了不等式的解集。也就是说，不等式(X > 5)的解集可以用数轴上表示(5)的点的右边部分来表示，在数轴上表示(5)的点的位置上画空心圆圈，表示(5)不在这个集合内。
再看一个例子，你能将(X ≤ 4)的解集表示在数轴上吗？同样先画一条数轴，注意画数轴的三要素。然后找到(4)，这次要画一个实心圆点，刚才是空心圆圈，现在画实心圆点的原因是刚才只有大于没有等于，现在有等于，有等于就画实心，这是规定。小于(4)的数都在(4)的左侧，按照规定，从(4)开始向左画一条折线，这样就把小于(4)的数都放在了这条折线的下方，形象清楚地表示了这个解集。也就是说，不等式(X ≤ 4)的解集可以用数轴上表示(4)的点的左边部分来表示，在数轴上表示(4)的点的位置上画实心圆点表示(4)在这个解集中。
注意，将不等式的解集表示在数轴上时，要注意两点：一是指示线的方向，大于向右，小于向左；二是有等于用实心圆点，没有等于用空心圆圈。
这里展示的是我们刚刚表示过的(X > 5)和(X ≤ 4)在数轴上的表示情况。这就是数学中规定的用数轴表示不等式解集的方法，灵活运用，严格按照规定就可以表示不同的不等式的解集。
看例题，将下列不等式的解集表示在数轴上。第一小题(X > -2)，同学们可以先画一下。我们先画一条数轴，注意画数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。然后找到(-2)，这一点画空心圆圈，因为是大于(-2)，所以向右画折线，这样就表示了(X > -2)的解集。第二题，(X ≤ 3)，同样先画一条数轴，找到(3)，这个点画实心圆点，因为是小于等于(3)，所以从(3)开始向左画一条折线。
通过上面这两个例子，我们得到用数轴表示不等式的解集的步骤。同学们思考一下应该有哪几步？很显然，第一步是画数轴，要画一条正确的数轴；第二步是定界点，像上面两题中的(-2)和(3)就是界点，同时要确定是实心圆点还是空心圆圈，有等于的用实心圆点，没有等于的用空心圆圈；第三步是定方向，大于向右画，小于向左画。
看一个巩固练习：
判断下列说法是否正确。
第一小题，(X = 2)是不等式(3X < 7)的解。我们把(X = 2)代入不等式(3X < 7)，代入后不等式成立，说明(X = 2)就是这个不等式的解，所以该说法正确。
第二小题，(X = 2)是不等式(3X < 7)的解集。这一题与上一题有区别，我们知道解集是满足不等式的所有解，当(X = 0)、(X = 1)、(X = 2)等都是这个不等式的解，所以(X = 2)不是不等式(3X < 7)的所有解，该说法错误。
第三小题，不等式(X - 1 > 0)有无数个解。根据不等式的基本性质，(X - 1 + 1 > 0 + 1)，即(X > 1)，比(1)大的数有无数多个，所以该说法正确。
填空。
第一题，方程(2X = 4)的解有多少个？不等式(2X < 4)的解有多少个？我们解(2X = 4)，可得(X = 2)，所以方程(2X = 4)的解只有一个。解不等式(2X < 4)，根据不等式基本性质，两边都除以(2)，得(X < 2)，小于(2)的数有无数多个，所以不等式(2X < 4)的解有无数个。
第二题，不等式(5X ≥ -10)的解集是？根据不等式的基本性质，不等式两边都除以(5)，可得解集为(X ≥ -2)。
第三题，不等式(X ≥ -3)的负整数解是？满足(X ≥ -3)的负整数解有(-3)、(-2)、(-1)三个。
第四题，不等式(X - 1 < 2)的正整数解是？根据不等式基本性质，不等式两边都加(1)，得(X < 3)，(X)是小于(3)的正整数，只有(2)和(1)，所以不等式(X - 1 < 2)的正整数解是(2)、(1)。
将下列不等式的解集分别表示在数轴上，有(4)小题，请同学们在作业本上完成。做这(4)小题时，要注意运用刚刚讲过的用数轴表示不等式解集的步骤：第一步画数轴，要画一个正确的数轴；第二步定界点，同时定实心圆点、空心圆圈；第三步定方向，大于向右，小于向左。
第一题，(X > 4)，首先画一条数轴，找界点(4)，画空心圆圈，大于向右画。
第二题，(X < -1)，第一步画数轴，第二步定界点(-1)，画空心圆圈，小于向左画。
第三题，(X ≥ -2)，画数轴，找界点(-2)，画实心圆点，大于向右画。
第四题，(X ≤ 6)，画数轴，找界点(6)，画实心圆点，小于向左画。相信通过练习这几道题，大家基本上已经掌握用数轴表示不等式解集的方法。
看最后一道题：不等式(X < \frac{10}{3})有多少个解？请找出几个。首先画数轴定界点(\frac{10}{3})，画空心圆圈，小于向左画。从图中可以看到(X < \frac{10}{3})有无数个解。那不等式(X < \frac{10}{3})有多少个正整数解？请一一写出来。同样画数轴，找界点(\frac{10}{3})向左画，正整数解有(3)、(2)、(1)。这个题体现了用数轴表示解集的好处，比较直观。
好，总结一下本节课的内容：一是理解不等式的解集、解不等式的概念；二是会把不等式的解集表示在数轴上；三是运用了数形结合的思想方法，我们把不等式的解集表示在数轴上，用的就是数形结合的思想方法。
看今天的作业：课本(44)页习题(2.3)第(1)、(2)题。很快就到下课时间了，请同学们课下认真整理笔记，完成今天的作业，同学们再见。