师：同学们好，从今天起，我们开始第20章数据的分析的学习。在之前的知识里，我们学习了数据的收集、整理和描述。当收集到数据后，通常会用统计图表来整理和描述数据。为了进一步获取信息，还需要对数据进行分析。以前我们学过平均数，知道它能反映一组数据的平均水平。本节课我们将在实际问题情境中，进一步探讨平均数的统计意义。本节课的学习目标有两个：一是理解数据的权和加权平均数的概念，明确加权平均数与算术平均数的关系；二是掌握加权平均数的计算方法。
同学们请看问题，一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听说读写的英文水平测试，他们各项的成绩如下。如果认为听说读写的能力同等重要，综合考虑公司应该录用谁呢？大家觉得谁的成绩更具代表性呢？那就是平均数。所以我们可以先来求甲的平均成绩，用85加上78，加上85，再加上73，然后除以4，结果是80.25分。而乙的平均成绩，应该用73加80加82再加83，再除以4，结果是79.5分。这时我们求的这两个平均成绩就是算术平均数，每个数值的重要程度都是一样的。从结果来看，显然甲的成绩比乙高，所以从成绩角度应该录取甲。这里的80.25和79.5代表了这两组数据的集中趋势。现在我们回顾一下算术平均数的意义。日常生活中，我们常用平均数来表示一组数据的平均水平。一般来说，对于n个数$X_1$，$X_2$，一直到$X_n$，我们把$\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作$\overline{X}$。
同学们，你们觉得这里的n有没有其他含义呢？是不是所有平均数都要这样求呢？答案是否定的，我们接着往下学习。生活中有许多不确定性，如果公司想招一名笔译能力较强的翻译，这时用算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？我们看这四项成绩，听说读写对于笔译能力来说，说明比较重视读和写的能力。如果按照刚才算术平均数的算法，应该录取甲，可甲写的能力只有73分，这不合理，那该怎么办呢？我们发现算术平均数已经不能解决这个问题了，应该有一种新的形式来体现。所以我们把听说读写的成绩按照2 : 1 : 3 : 4的比确定。也就是说听的成绩按两份算，说的成绩按一份算，读的成绩按三份算，写的成绩按四份算，即这四个成绩的重要程度不一样。把总成绩表示为2 + 1 + 3 + 4，也就是10份。这样我们来求一下甲和乙的成绩。这时甲的成绩应该用85乘以2，加上78乘以1，加上85乘以3，再加上73乘以4，然后除以2 + 1 + 3 + 4，也就是这些比值之和，结果等于79.5。
大家看，这是不是与算术平均数有所不同呢？算术平均数其实把每个数值都看成一份，而这种算法是给每个数据赋予不同的比值。这里4个不同的比值，我们把它叫做权。什么是权呢？我们来看定义，根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，描述这种比重的数值就叫做该数据的权，也就是说每个数据的重要程度是不同的。看这里，2就是数据85的权，1就是数据78的权，3就是数据85的权，4就是数据73的权。我们可以再用同样的方法去求出乙的成绩，同学们可以自己试一试。
我们来看结果，$\overline{X}_{乙} = \frac{73×2 + 80×1 + 82×3 + 83×4}{2 + 1 + 3 + 4}$，结果是80.4。这时候我们看结果，乙的成绩比甲高，应该录取乙。通过这道题我们学会了什么呢？我们学会了赋予数据不同的权，这个权代表数据的重要程度。那么能不能把这种求平均数的方法推广到一般呢？我们说是完全可以的。一般地，若n个数$X_1$，$X_2$，一直到$X_n$，它们的权分别是$W_1$、$W_2$，一直到$W_n$，则$\overline{X} = \frac{X_1×W_1 + X_2×W_2 + \cdots + X_n×W_n}{W_1 + W_2 + \cdots + W_n}$，叫做这n个数的加权平均数。
从刚才的题目中我们知道，在生活问题中对于不同的数据，其重要程度要求不一样，就要给不同的数值赋予不同的权，这样每个数值乘以它的权，再除以权之和就可以了。所以它完全可以推广到一般形式。而我们之前学的算术平均数其实是加权平均数的特殊情况，每个数据的权都是1，所以权之和就是n，这样就得到了算术平均数的公式。
我们接着来看权的变化对录取结果的影响，如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，应该录取谁呢？口语能力较强，我们肯定关注他的听说能力，而对于读写能力则相对次要。所以我们把听说读写的成绩按照3 : 3 : 2 : 2的比确定。给不同的数据赋予不同的权，我们一起来计算一下结果。同学们可以在草稿纸上计算一下。
我们来看结果，$\overline{X}{甲} = \frac{83×3 + 78×3 + 85×2 + 73×2}{3 + 3 + 2 + 2}$，结果是80.5；$\overline{X}{乙} = \frac{73×3 + 80×3 + 82×2 + 83×2}{3 + 3 + 2 + 2}$，结果是78.9。同学们，你们算对了吗？从结果来看，甲的结果比乙高，应该录取甲。同学们，你们看到了吗？权发生变化，录取结果也会发生变化。我们来看第四个问题，通过刚才这三个问题的学习，你能体会到权的作用了吗？同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所赋予的权数不同，造成的结果截然不同。所以说数据的权能够反映数据的相对重要程度。学到这里，下面请同学们思考一下算术平均数和加权平均数的区别和联系，你能说一说吗？
算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，特殊就特殊在各项的权都相等。因此，当各项权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数；当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数。如果权发生变化，结果就会发生变化，也就是说这一组数据按照不同的权，就有不同的加权平均数。所以一组数据的算术平均数只有一个，而加权平均数可以有多个。这种加权平均数的算法在我们招聘和录取问题中经常会遇到。