师：同学你好，上节课我们一起复习了函数的相关知识，这节课我们继续梳理本章知识点，进一步体会知识点运用过程中的数学思想和方法。通过本节课学习，希望你能有以下收获：一是能用一次函数解决方案问题；二是理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，能根据图像求字母范围；三是理解一次函数与二元一次方程或方程组的关系；四是经历一次函数数学建模，建立符号意识，发展直观想象、数学抽象、数据分析、逻辑推理能力，体会数形结合思想。请你准备好笔和作业本，下面开始本节课的学习。上节课我们已经复习了一次函数应用类型之一——最大利润问题。你还记得用一次函数解决实际问题的一般步骤吗？一是设出实际问题中的变量；二是建立一次函数解析关系式；三是利用待定系数法求出一次函数解析式；四是确定自变量的取值范围；五是利用一次函数的性质求相应的值，并检验所求值是否符合实际意义。
下面再来看一种类型——一次函数与最优方案问题。请看问题：某家电信公司提供了两种方案的移动通讯服务收费标准，如表所示。A方案：每月基本服务费30元，每月免费通话时间120分钟，超出后每分钟收费0.4元；B方案：每月基本服务费50元，每月免费通话时间200分钟，超出后每分钟收费0.4元。如果让你选择其中一种方案，应如何选择呢？不妨先思考以下两个问题：一、在服务质量相同的情况下，人们通常根据什么来选择方案呢？二、每种方案每月话费与什么相关？
这是一道生活中的实例问题。就人们日常生活习惯而言，通常会根据每月通话时间对应不同方案所要缴纳的费用多少来选择方案，每月话费应该与每月通话时间相关。能否考虑用函数来刻画它们之间的关系呢？话费与通话时间是两个变量，每一个通话时间都有唯一一个话费与之对应，所以话费是关于通话时间的函数，那么它们之间又是什么函数关系呢？根据表格中的数据可以求出函数的关系式。假设每月通话时间为x分钟，A方案每月话费为Y?元，B方案每月话费Y?元。由于话费等于基本服务费加超时收费，且两个方案每月免费通话时间不同，所以需要分类讨论。通话时间少于免费通话时间时只收基本服务费，而通话时间超过免费通话时间时要加收超时收费。请你尝试求出解析式。
在A方案中，当通话时间大于等于0，小于等于120时，只收基本服务费30元，即当0≤x≤120时，Y? = 30；而当通话时间大于120分钟时，话费应该是基本服务费加上超时收费，超过了(x - 120)分钟，所以是30 + 0.4(x - 120)元，即当x＞120时，Y? = 0.4x - 18。
同理，在B方案中，当通话时间x大于等于0，小于等于200时，只收基本服务费50元，即当0≤x≤200时，Y? = 50；而当x大于200分钟时，话费应该是基本服务费加上超时收费，超过了(x - 200)分钟，所以是50 + 0.4(x - 200)元，即当x＞200时，Y? = 0.4x - 30。这就是分段函数。
你还记得分段函数是怎么定义的吗？在自变量不同的取值范围内，函数的解析式有不同的形式，这样的函数叫做分段函数。现在比较出通话费用就可以得出哪种方案更好。那么该怎么比较Y?与Y?呢？由于这两个分段函数每一段的自变量取值范围不同，所以这里用数形结合的方法，把两个函数的图像画在同一坐标系中，再利用图像直观地观察。
如图，先画Y?的图像。在x大于等于0小于等于120时，随着自变量x的变化，Y?始终等于30不变，因此是一条平行于x轴的线段，连接两个端点(0, 30)和(120, 30)。当x大于120时，Y? = 0.4x - 18是一次函数，选择两个点画出图像，这里选择(120, 30)和(300, 102)画出第二段。同样的方法可以画出Y?的图像。
图像画好了，你可以通过图像比较两种方案吗？通过图像可以很快发现答案。由于话费越少，对应的图像应该在下方。我们发现两个图像在交点的左侧，Y?的图像始终在Y?的图像上方，此时Y?＞Y?，因此选择Y?最佳；在交点处，两个方案话费相同，都是50元，两个方案都可以选；在交点的右侧，Y?在Y?的上方，即Y?＞Y?，此时选择Y?最佳。那么交点坐标是多少呢？通过图像观察，交点的纵坐标是50，把y = 50代入Y?可以求出此时交点横坐标为170。
由此得到答案：当x大于等于0小于170时，Y?小于Y?，选择A方案；当x等于170时，Y?等于Y?，选A或者B都可以；当x大于170时，Y?大于Y?，选择B方案。这道题我们利用数形结合的方法解决了这一类方案问题。
综上所述，一般情况下，不同方案选择问题的基本方法是：一是建立各种方案的一次函数解析式，直接将各个解析式作比较，划归为一元一次不等式或方程来解；二是画各个函数的图像，求出函数图像的交点坐标，然后把自变量划分为几个较小的范围，通过比较各个范围内图像的位置来比较各种方案的优劣。所以当函数在自变量的不同范围内有不同的解析式，且函数的图像简单易画时，图像法是比较适合的方法，而函数解析式与图形相结合体现了数形结合的思想。
以上就是一次函数与方案问题。接下来看一次函数与一元一次方程的关系。一次函数y = kx + b的图像如图所示，则方程kx + b = 0的解为？这道题考察的是一次函数与一元一次方程的关系，你还记得它们之间的关系是什么吗？一次函数y = kx + b，当y = 0时，所对应的x的值就是一元一次方程kx + b = 0的解。根据图像可得，直线与x轴交点为(-1, 0)，即一次函数当y = 0时，对应的x = -1，所以方程kx + b = 0的解就是x = -1。解答这类题目主要用数形结合的方法，再利用一次函数与一元一次方程的关系来解决一元一次方程。
再看这道题，ax - b = 0的解是x = 3，函数y = ax - b的图像与x轴的交点坐标是多少呢？根据一元一次方程kx + b = 0的解就是对应一次函数y = kx + b，当y = 0时x的值。由题意可得，x = 3是方程的解，也是函数图像与x轴交点的横坐标，所以应该选a。
接着看一次函数与一元一次不等式的关系。根据一次函数y = kx + b的图像，分别说出kx + b＜0和kx + b＞2的解集。这道题主要考察一次函数与一元一次不等式的关系，你还记得它们之间有什么关系吗？求不等式kx + b＞m或小于m（其中k≠0）的解集，即为求y = kx + b的图像中纵坐标大于或小于m的点所对应的x的取值范围。