师：同学们大家好，今天我们一起来学习必修5第三章第一节不等关系与不等式的第一课时。现实世界和日常生活中，既有相等关系，也存在着大量的不等关系。比如，我们常用高与矮、轻与重、长与短、远与近、快与慢等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。同学们，你们能列举出一些生活中的不等关系的例子吗？
不等关系在日常生活中无处不在。比如，我们常看到道路旁的交通标志，有的表示车辆行驶速度不能超过40千米/小时，重量不能超过60吨，车辆宽度不能超过3米，高度不能超过3.5米。又如某天的气温，最高23摄氏度，最低15摄氏度，也就是说这一天的气温不高于23摄氏度，不低于15摄氏度。再如，某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%。以上是日常生活中的不等关系，其实在数学学习过程中也常遇到不等关系，大家能列举出一些数学学习中出现的不等关系吗？
比如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
既然日常生活中有这么多不等关系，那用什么样的数学语言来描述呢？我们用数学符号“大于”“小于”“不等于”“大于等于”“小于等于”连接两个数或代数式，来表示它们之间的不等关系。这些含不等号的式子叫做不等式。不等式是研究不等关系的工具，大家能用不等式表示出刚才三个情境中的不等关系吗？在情境一中，第一个交通标志指车辆行驶速度不能超过40千米每小时。为方便书写不等式，设车辆行驶速度为v千米/小时，则v≤40。仿照这种形式，其他三个交通标志大家能否表示出来呢？
同样，设车辆重量为t吨，宽度为a米，高度为h米，则剩下三个交通标志依次为t≤60，a≤3、h≤3.5。
在情境2中，气温满足怎样的不等式呢？由于该天的气温不高于23摄氏度，不低于15摄氏度，设该天的气温为t摄氏度，则15≤t≤23。
在情境3中，由于酸奶的脂肪含量和蛋白质的含量已用字母f和p给出，结合题中的不等关系，我们可以写出f≥2.5%，p≥2.3%。
通过刚才的例子可知，要正确表示不等关系，必须清楚文字语言和符号语言之间的转换。我们一起来看一下，“至多”“至少”“不多于”“不少于”对应的符号语言分别是什么呢？
“至多”对应的是“小于等于号”，“至少”对应的是“大于等于号”。“不多于”或者“不高于”对应的是“小于等于号”，“不少于”“不低于”对应的是“大于等于号”。
我们接着用不等式来研究一些实际问题。
一、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
在这个问题中，需要表达的不等关系为销售总收入不低于20万元。大家能结合题意求出提价后的销售总收入吗？
由于销售总收入等于定价与销售量的乘积，在定价为x元的条件下，销售量为多少呢？
若定价为x元，则定价提高了(x - 2.5)元，也就是定价提高了((x - 2.5)÷0.1)个0.1元。所以销售量将减少((x - 2.5)÷0.1×2000)本。注意到提价前销售量为8万本，将单位调成统一可得，此时的销售量为(8 - (x - 2.5)÷0.1×0.2)万本。进而我们可以求得销售的总收入，于是不等关系“销售总收入不低于20万元”，可以表示为相应的不等式。
我们接着来看问题二，某钢铁厂要把长度为4000毫米的钢管截成500毫米和600毫米两种。按照生产要求，600毫米钢管的数量不能超过500毫米钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
请同学们先思考一下本题中有哪些不等关系。
题中直接给出600毫米钢管的数量不能超过500毫米钢管数量的3倍。除了这个不等关系，题中还有其他的不等关系吗？
注意到钢铁厂是要把长度为4000毫米的钢管截成500毫米和600毫米两种，也就是说两种规格钢管的总长度不能超过4000毫米。还有，作为一个实际问题，两种规格钢管的数量不能为负数。我们一起来梳理一下这个问题中的所有不等关系：一、截得两种钢管的总长度不能超过4000毫米；二、截得600毫米钢管的数量不能超过500毫米钢管数量的3倍；三、截得两种钢管的数量都不能为负。
为了清晰表达出这些不等关系，假设截得500毫米的钢管x根，截得600毫米的钢管y根，显然x、y都应该为自然数，于是有(500x + 600y ≤ 4000)，(y ≤ 3x)，(x ≥ 0)，(y ≥ 0)。