师：同学们好，今天我们学习必修5第三章第四节基本不等式第三课时。首先，我们一起来回顾一下前两节课学习的主要内容。前面我们学习了两个不等式：
第一个是重要不等式，对于任意实数a、b，有(a^2 + b^2 \geq 2ab)，当且仅当(a = b)时，等号成立。
第二个是基本不等式，若(a > 0)，(b > 0)，则(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})，当且仅当(a = b)时，等号成立。
由基本不等式，我们可以得到两种常用的变形：(a + b \geq 2\sqrt{ab})，(ab \leq (\frac{a + b}{2})^2)。
由基本不等式我们还能得到这样一个结论：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。简记为“积定和最小，和定积最大”。利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：一、两项均为正数；二、两项的和或两项的积为定值；三、等号可取，当且仅当两项相等时取等号。我们简记为“一正二定三相等”。
本节课我们通过几个例题进一步探究用基本不等式求最值的问题。已知(x > 0)，求(y = 4x + \frac{9}{x})的最小值。按照“一正二定三相等”的条件，例1可以直接用基本不等式求(y)的最小值。由条件(x > 0)，我们得到(4x)和(\frac{9}{x})都是正数，且乘积为定值。所以由基本不等式得(y = 4x + \frac{9}{x} \geq 2\sqrt{4x \times \frac{9}{x}} = 12)，当且仅当(4x = \frac{9}{x})，即(x = \frac{3}{2})时，等号成立。所以当(x > 0)时，(y = 4x + \frac{9}{x})的最小值是(12)。
我们来看与例1相关的三个变式题。
变式1：已知(x < 0)，求(y = 4x + \frac{9}{x})的最大值。
由条件(x < 0)，我们得到(4x)和(\frac{9}{x})都为负数，所以不能直接用基本不等式求(y)的最大值。那么能不能将这两个负数转化为正数呢？我们可以通过添加负号，将(y = 4x + \frac{9}{x})变形成(-y = -4x + (-\frac{9}{x}))。此时(-4x)和(-\frac{9}{x})都为正数，且乘积为定值。所以由基本不等式得(-y \geq 2\sqrt{(-4x) \times (-\frac{9}{x})} = 12)，即(y \leq -12)。取等号的条件是，当且仅当(-4x = -\frac{9}{x})，即(x = -\frac{3}{2})时，等号成立。所以当(x < 0)时，(y = 4x + \frac{9}{x})的最大值是(-12)。在示例1中，(y = 4x + \frac{9}{x})是两项负数的和，我们通过添加负号转化成了两项正数的和。
变式2：已知(x > 1)，求(y = 4x + \frac{9}{x - 1})的最小值。
由条件(x > 1)，我们得到(4x)和(\frac{9}{x - 1})都为正数，但它们的积不为定值。那么怎样构造积为定值呢？参照例1，我们可以将(y = 4x + \frac{9}{x - 1})变形为(4(x - 1) + \frac{9}{x - 1} + 4)。此时(4(x - 1))和(\frac{9}{x - 1})都为正数，且乘积为定值。所以由基本不等式得(y \geq 2\sqrt{4(x - 1) \times \frac{9}{x - 1}} + 4 = 16)，当且仅当(4(x - 1) = \frac{9}{x - 1})，即(x = \frac{5}{2})时，等号成立。所以当(x > 1)时，(y = 4x + \frac{9}{x - 1})的最小值是(16)。在式子2中，(y = 4x + \frac{9}{x - 1})是两项正数的和，但这两项的乘积不为定值，我们通过凑项构造了积为定值的形式。
变式3：已知(x > 1)，求(y = \frac{x^2 + 8}{x - 1})的最小值。
变式3中(y = \frac{x^2 + 8}{x - 1})是一个二次除以一次的分式，它和前面的例1有什么联系呢？我们将例1中的(y = 4x + \frac{9}{x})通分之后，可以得到(y = \frac{4x^2 + 9}{x})，通分后的分式也是一个二次除以一次的分式。反过来，通分后的分式(y = \frac{4x^2 + 9}{x})可以分离为(y = 4x + \frac{9}{x})。
那么对照例1，我们可以将变式3中的分式(y = \frac{x^2 + 8}{x - 1})怎么分离呢？我们需要将分子中的(x^2 + 8)凑成关于分母(x - 1)的二次式。为了使得分式简单化，我们可以对分母(x - 1)整体换元，令(t = x - 1)，则(x = t + 1)。结合已知条件(x > 1)，我们有(t > 0)。于是(y = \frac{x^2 + 8}{x - 1})可以转化为(\frac{(t + 1)^2 + 8}{t})，将分子展开化简之后得到(y = t + \frac{9}{t} + 2)。此时(t)和(\frac{9}{t})都为正数，且乘积为定值。所以由基本不等式得(t + \frac{9}{t} + 2 \geq 2\sqrt{t \times \frac{9}{t}} + 2 = 8)，当且仅当(t = \frac{9}{t})，即(t = 3)时，等号成立。所以当(x > 1)时，(y = \frac{x^2 + 8}{x - 1})的最小值是(8)。
在变式3中，(y = \frac{x^2 + 8}{x - 1})是一个二次除以一次的分式，我们通过对它进行分离，再用基本不等式求最小值。
以上例1和三个变式题当中都只含有一个变量，我们来看一下与两个变量相关的最值问题。
例2：已知(x > 0)，(y > 0)，且(x + 2y = 1)，求(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})的最小值。
由已知条件，我们有(\frac{1}{x})和(\frac{1}{y})都为正数，但它们的积不为定值，所以不能直接用基本不等式求(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})的最小值。那么怎样构造积为定值的形式呢？
结合已知条件(x + 2y = 1)，我们可以将所求式子(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})中的分子(1)替换为(x + 2y)，所以有(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + 2y}{x} + \frac{x + 2y}{y})。化简之后得到(3 + \frac{2y}{x} + \frac{x}{y})。此时(\frac{2y}{x})和(\frac{x}{y})都为正数，且乘积为定值。由基本不等式得(3 + \frac{2y}{x} + \frac{x}{y} \geq 3 + 2\sqrt{\frac{2y}{x} \times \frac{x}{y}} = 3 + 2\sqrt{2})。取等号的条件是当且仅当(\frac{2y}{x} = \frac{x}{y})，且(x + 2y = 1)，即(x = \sqrt{2} - 1)，(y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2})时等号成立。所以(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})的最小值是(3 + 2\sqrt{2})。本题的做法是将(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})中的分子(1)替换为(x + 2y)，这种变形也可以理解为将原式(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})整体乘以了一个(1)，然后再将这个(1)替换为(x + 2y)，我们将这种方法称为“1的代换”或“整体代换”。
如果将题中的条件(x + 2y = 1)，改为(x + 2y = 2)，我们得到变式1：已知(x > 0)，(y > 0)，且(x + 2y = 2)，求(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})的最小值。我们又应该对所求式子做怎样的变形呢？
结合例2，我们可以将变式1中的(x + 2y = 2)，右边的常数(2)调整为(1)，可以通过等式两边同时乘以(\frac{1}{2})。所以变式1同样可以通过“1的代换”求(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})的最小值。我们只需要将(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})变形为((\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \times \frac{1}{2}(x + 2y))，变形之后展开，同样可以利用基本不等式来求(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})的最小值。剩下的部分同学们可以自己课下完成。
我们来看变式2：已知(x > 0)，(y > 0)，且(\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1)，求(x + y)的最小值。请同学们先自己动手算一下。
比例2，变式2同样可以通过“1的代换”来求(x + y)的最小值。由(x > 0)，(y > 0)，且(\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1)，我们将(x + y)整体乘一个(\frac{1}{x} + \frac{9}{y})，展开后得到(\frac{9x}{y} + \frac{y}{x} + 10)。由基本不等式得到(\frac{9x}{y} + \frac{y}{x} + 10 \geq 2\sqrt{\frac{9x}{y} \times \frac{y}{x}} + 10 = 16)。当且仅当(\frac{9x}{y} = \frac{y}{x})，且(\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1)，即(x = 4)，(y = 12)时，等号成立。所以(x + y)的最小值是(16)。例2及其两个变式都可以通过“1的代换”来求最小值。那么这类题目有何特点呢？
通过对比分析，我们可以归纳为以下三点：一、已知的式子与所求的式子均为两项正数的和，一个是形如(ax + by)的整式，一个是形如(\frac{m}{x} + \frac{n}{y})的分式；二、已知其中一个式子的值为常数，求另一个式子的最值。若符合这三个特点，我们就可以用“1的代换”来求最值。
下面我们来看例3：已知正数(a)、(b)满足(ab = a + b + 3)，求(ab)的最小值。请同学们先思考本题的解法。
我们结合(ab = a + b + 3)这个式子的特点，当中出现了(ab)的乘积和(a + b)的和。题目是求乘积的最小值，那么能否将式子中的和转化为乘积呢？
我们可以借助基本不等式将和与乘积进行转化。由(a)、(b)为正数，我们得到(a + b \geq 2\sqrt{ab})。于是(ab = a + b + 3 \geq 2\sqrt{ab} + 3)，得到一个关于(\sqrt{ab})的不等式((\sqrt{ab})^2 - 2\sqrt{ab} - 3 \geq 0)。解这个不等式，我们得到(\sqrt{ab} \geq 3)，即(ab \geq 9)。取等号的条件是当且仅当(a = b = 3)时，等号成立，所以(ab)的最小值是(9)。
这一题我们是结合已知的式子(ab = a + b + 3)的特点，利用基本不等式将(a + b)转化为(ab)，得到关于积(ab)的不等式，通过解关于(ab)的不等式，求出(ab)的最小值是(9)。也就是说我们可以利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解。同学们想一想这一题还有其他的解法吗？
例3中涉及到两个变量(a)和(b)，那么我们能将两个变量转化为一个变量吗？
我们由变量(a)和(b)满足的关系式(ab = a + b + 3)可以消去一个变量。比如说我们消去(b)，用(a)来表示(b)，可以得到(b = \frac{a + 3}{a - 1})。注意到这个(b)要大于(0)，我们有(\frac{a + 3}{a - 1} > 0)，同时考虑到(a > 0)，所以(a > 1)。这样(ab)可以转化成关于变量(a)的关系式，我们有(ab = a \times \frac{a + 3}{a - 1} = \frac{a^2 + 3a}{a - 1})。这样例3就转化为已知(a > 1)，求(\frac{a^2 + 3a}{a - 1})的最小值。这种题型就跟前面例1的变式3是类似的，所以剩下的部分请同学们自己完成。
本节我们通过几个例题进一步探究了用基本不等式求最值的问题。利用基本不等式求最值时，必须按照“一正二定三相等”的条件进行。当不能直接使用基本不等式求最值时，需要先对照已知条件和所求的式子进行适当的变形。常用的变形技巧有：当两项都为负数时，我们可以通过调整符号化负为正；当和或者积不为定值时，我们可以通过拆添、配凑变动为定。本节课我们还讲到了“1的代换”、构造不等式等方法，所以同学们要能够灵活运用。这是今天的作业，请同学们课下认真完成。这节课就上到这里，同学们再见。