师：同学们好，今天我们继续学习选修1 - 2第一章第一节回归分析的基本思想及其初步应用。上节课我们建立了红铃虫的产卵数y与温度x的两个非线性回归模型。那这两个模型中，哪个能更好地刻画红铃虫的产卵数y与温度x的关系呢？又有什么方法可以衡量这两个模型的拟合效果呢？考虑到样本点与模型越接近，模型的拟合效果越好，那如何考察样本点与模型接近的程度呢？
生：可以通过比较两个模型的残差或者残差图来检查拟合效果。
师：非常好。首先我们来看指数型回归模型。因为指数型回归模型是y估 = e^(0.272×(x - 3.849))，所以它的残差计算公式是EI估 = yi - yi估 ，这里的yi估是指数型的，那么EI估也就等于yi - e^(0.272×(xi - 3.849))，i可以从1取到7。下面我们利用计算器或者Excel软件来计算这个模型的残差。
首先，E1估 = Y1 - Y1估，也就是Y1 - e^(0.272×(X1 - 3.849))，代入具体数值，即7 - e^(0.272×(21 - 3.849)) ，利用计算器可得第一个估计残差的估计值为0.557。同理，E2估 = Y2 - Y2估，即Y2 - e^(0.272×(X2 - 3.849)) ，代入数值11 - e^(0.272×(23 - 3.849)) ，利用计算器可得E2估约等于 - 0.101。
同理，可算出剩下的残差值分别是1.875、 - 8.950、9.230、 - 13.381和34.675。当然，我们也可以利用Excel软件做出残差图，以温度x为横轴，残差值为纵轴。观察这个残差图，大多数的残差点比较均匀地分布在一个水平的带状区域内，这说明什么呢？
生：说明选用的模型比较合适。
师：对，为了和另一个回归模型进行比较，我们继续计算二次回归模型的残差。二次回归模型的公式是y估 = 0.367×x2 - 202.543，所以残差计算公式是EI估 = YI - y估，也就是YI - 0.367×XI2 + 202.543，i依然从1取到7。我们继续用计算器或Excel软件来分别计算每组残差。
首先，E1估 = Y1 - Y1估，即Y1 - 0.367×X12 + 202.543，代入数值7 - 0.367×212 + 202.543，利用计算器可得约等于47.696。接下来算第二个残差E2估，E2估 = Y2 - Y2估，即Y2 - 0.367×X22 + 202.543，代入数值10 - 0.367×232 + 202.543，计算器算出第二组残差约是19.400。同理，依次算出剩下的残差分别为 - 5.832、 - 41.000、 - 40.104、 - 58.265和77.968。同样，以温度x为横轴，残差值为纵轴，得到二次回归模型的残差图。
下面我们把残差值表进行合并，表1 - 6给出了X、Y的原始数据与相应的两个回归方程的残差。同学们看看表1 - 6中的数据，说一说哪个模型的拟合效果更好？
生：指数型回归模型的残差的绝对值明显比二次回归模型残差的绝对值小，所以指数型回归模型的拟合情况更好一些。
师：非常好，更直观地，我们把两个回归方程的残差图放在一起比较，左边第一个残差图中间的残差点所在的带状区域更窄，这也说明指数型回归模型的拟合效果更好。
当然，一般情况下比较两个模型的残差可能比较困难，因为在某些样本点上，一个模型的残差绝对值比另一个模型小，而在另一些样本点上情况可能相反。这时怎么办呢？我们还学过哪个统计量可以刻画回归模型的拟合效果？
生：相关指数r2。
师：为什么r2可以刻画回归模型的拟合效果呢？我们来看r2的计算公式，r2 = 1 - Σ(yi - y平均)2(i从1到n) / Σ(yi - y平均)2(i从1到n)。这里主要看后面的分式，分母Σ(yi - y平均)2我们叫做总偏差平方和。这里涉及的yi和y平均是确定的，与建立的模型无关，所以总偏差平方和是一个确定的数，相关指数的大小仅取决于分子。
我们看，Σ(yi - yi估)2是不是就是残差平方和？如果样本数据的各样本点与模型越接近，残差的绝对值越小，残差平方和就越小，这个时候相关指数越大。所以可以得出，相关指数越大，模型的拟合效果越好；相关指数越小，模型的拟合效果越差。我们可以利用相关指数r2来刻画回归模型的拟合效果。
下面我们利用表1 - 6中的数据来计算两个模型的相关指数。因为总偏差平方和与模型无关，先算它。要计算总偏差平方和，需要先算出y平均，上节课我们已得到y平均约等于81.286。这时总偏差平方和就是(Y1 - y平均)2 + (Y2 - y平均)2 + … + (y7 - y平均)2 ，代入相关数值，即(7 - 81.286)2 + (11 - 81.286)2 + … + (325 - 81.286)2 ，利用计算器算出约等于5518.367 + 4940.082 + … + 59396.65 ≈ 78141.43。
接下来分别算两个模型的残差平方和。先看指数型回归模型，把刚刚算出的残差代入，残差平方和约等于0.5572 + ( - 0.101)2 + … + 34.6752 ，利用计算器算出约等于1550.563。
把结果代入相关指数计算公式，指数型回归模型的相关指数r2约等于1 - 1550.563 / 78141.43 ≈ 0.98。同理，利用表1 - 6中的数据计算二次回归模型的残差平方和，代入数据可得二次回归模型的残差平方和约等于47.6962 + 19.4002 + … + 77.9682 ，通过计算器算出约等于15448.43。再代入相关指数公式，相关指数r2约等于1 - 15448.43 / 78141.43 ≈ 0.80。
计算完两个回归模型的相关指数，0.98＞0.80，所以指数型回归模型的拟合效果要好于二次回归模型。对于同一组样本，总偏差平方和一样，其实也可以通过比较残差平方和的大小来判断模型的拟合效果，即残差平方和越小，模型的拟合效果越好，因为样本点与回归模型更接近。