师：各位同学大家好，欢迎来到数学课堂。这节课我们要学习的是初中数学沪科版七年级上册第三章第三节“二元一次方程组及其解法”的第一课时。首先，请大家和老师一起来朗读本节课的学习目标：一、理解二元一次方程和二元一次方程组的概念；二、会把一些简单实际问题中的数量关系用二元一次方程组表示出来。好，同学们，让我们开始今天的数学之旅。
之前我们已经学过一元一次方程，那什么叫做一元一次方程呢？“元”指的是什么？“次”指的又是什么？
生：只含有一个未知数，未知数的次数是一，且等式两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。“元”指的是未知数，“次”指的是未知数的次数。
师：非常好。那同学们，你们能根据一元一次方程的定义，判断下列方程哪些是一元一次方程吗？第一个方程，$\frac{1}{x} - 12 = 12$。
生：这个方程不是一元一次方程，因为方程中含有$\frac{1}{x}$项，它不是整式方程。
师：没错。第二个方程，$2x^2 + 2 = 10$。
生：这个方程也不是一元一次方程，因为方程中含有$x^2$项，不符合一元一次方程的定义。
师：很好。第三个方程，$2x + 2 = 14$。
生：这个方程是一元一次方程，它含有一个未知数$x$，并且$x$的次数是一。
师：非常棒。第四个方程，$x + y = 5$。
生：这个方程不是一元一次方程，因为它含有两个未知数$x$和$y$。
师：同学们都判断得很准确。接下来，请同学们和老师一起来解决一个实际问题。有同学在植树时，植樟树和柏树共$45$棵，一株樟树苗每棵$2$元，一株柏树苗每棵$1$元，购买这些树苗用了$60$元。问樟树苗、柏树苗各买了多少棵？同学们思考一下，在这个问题中，有几个未知量？涉及到的等量关系有哪些？分别是什么呢？
生：有两个未知量，分别是樟树苗和柏树苗的棵数。有两个等量关系，分别是樟树苗的棵数加上柏树苗的棵数等于$45$棵，以及购买樟树苗的费用加上购买柏树苗的费用等于$60$元。
师：非常好。那请大家思考，列一元一次方程能解这个问题吗？若设樟树苗$x$棵，柏树苗如何用含$x$的代数式来表示呢？
生：根据购买两种树苗共$45$棵，可以得到柏树苗为$45 - x$棵。
师：没错。那你能根据题意列出一元一次方程吗？
生：根据购买这些树苗的总费用是$60$元，可以得到方程$2x + (45 - x) = 60$。
师：大家都列对了。这是上节课学过的一元一次方程应用的知识，列方程时需要用一个未知数去表示另一个未知数。现在我们思考一下，能否设两个未知数，使列方程更简便一些呢？如果设两个未知数$x$、$y$，你能够列出几个独立的方程？
生：设樟树苗买了$x$棵，柏树苗买了$y$棵。根据两种树苗的总数为$45$棵，可以得到方程$x + y = 45$；又根据购买两种树苗的总费用是$60$元，可以得到$2x + y = 60$。
师：非常好。请同学们观察以上两个方程，它们与一元一次方程有什么不同？又有什么共同的特征呢？
生：这两个方程都含有两个未知数$x$、$y$，这与一元一次方程最大的区别。它们的共同特征是未知数的次数都是一，且都是整式方程。
师：那同学们能类比一元一次方程，给以上两个方程起个恰当的名字吗？
生：二元一次方程。
师：非常棒。那什么样的方程才能叫做二元一次方程呢？
生：像这样含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是一的整式方程，叫做二元一次方程。
师：对。这里所说的“一次”，是指含有未知数的项的次数是一次。比如$xy = 3$，虽然$x$的指数是一，$y$的指数是一，但$xy$的次数是$2$，所以这个方程不是一次方程，而是二次方程。所以二元一次方程必备的条件是：含有两个未知数，含有未知数的项的次数是一次，并且是整式方程。
认识了二元一次方程的定义，请同学们用你的火眼金睛来判断下列方程哪些是二元一次方程，并说明理由。第一个方程，$x + 3y - 10 = 0$。
生：这个方程是二元一次方程，因为方程中含有两个未知数$x$、$y$，并且含有未知数的项的次数是一次。
师：很好。第二个方程，$3x - \frac{9}{y} = 0$。
生：这个方程不是二元一次方程，因为方程中含有$\frac{9}{y}$项，它不是整式方程。
师：正确。第三个方程，$xy - 9 = 3$。
生：这个方程不是二元一次方程，因为方程含有$xy$项，它不是一次方程。
师：非常对。第四个方程，$3x - y + z = 0$。
生：这个方程不是二元一次方程，因为方程中含有$3$个未知数。
师：没错。第五个方程，$x - \frac{y}{9} = 0$。
生：这个方程是二元一次方程，它符合二元一次方程的定义，含有两个未知数$x$、$y$，并且含有未知数的项的次数是一次。
师：很好。第六个方程，$3x - 2\pi = 4$。
生：这个方程不是二元一次方程，因为$\pi$是已知数，不是未知数。
师：同学们都判断得很准确。判断一个方程是否是二元一次方程，必须严格按照二元一次方程的定义来判断。刚才在问题一中所设的$x$、$y$，既要满足树苗的总数$45$棵，又要满足购买树苗的费用$60$元。因此我们把上面两个方程联立在一起，写成$\begin{cases}x + y = 45 \ 2x + y = 60\end{cases}$。像这样联立在一起的几个方程称为方程组。请同学们观察这个方程组，它由几个方程组成？含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？
生：这个方程组由两个方程组成，含有两个未知数$x$、$y$，含有未知数的项的次数都是一，并且是整式方程。
师：所以我们可以称这样的方程组为二元一次方程组。那什么样的方程组叫做二元一次方程组呢？
生：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
师：这里的“含有两个未知数”，是指每一个方程必须含有两个未知数，还是共含有两个未知数呢？