师：同学们好，今天这节课我们来学习 12.21 次函数的第五课时——分段函数。我们先来看这样一个情境：接种新冠疫苗，共筑健康长城。某市对本地 40 万人接种新冠疫苗，前期每天可接种 0.5 万人，a 天后接种人数达到 20 万人。由于情况变化，接种速度放缓，结果 100 天完成接种任务。在某段时间内，表示接种人数 y 万人与接种时间 x 天之间关系的图像是哪一个呢？是第二个。因为接种速度放缓，接种速度在变化，所以图像不会是一条直线，因此能表示接种人数与接种时间关系的图像是第二个，这个图像就是我们今天要学习的分段函数。如图，大家能直接写出 a 的值吗？
生：a 等于 40。
师：非常好。由于每天可接种 0.5 万人，20 万人完成接种需要 20÷0.5 = 40 天，所以 a 等于 40。在此基础上，大家能求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围吗？因为此函数图像不是一条直线，所以我们在求表达式的时候要分段，应该分成几段呢？
生：分成两段。
师：很好，那这两段中自变量的取值范围应该是什么呢？
生：第一段是 x 大于或等于 0，小于或等于 40；第二段自变量的取值范围是 x 大于 40，小于或等于 100。
师：非常棒。当 x 大于或等于 0，小于或等于 40 的时候，可以看出图像经过原点，它是什么函数呢？
生：是前面我们学习的正比例函数。
师：对，那如何求它的表达式呢？
生：可以用待定系数法，设 y = KX，这里有一个待定的系数 k。
师：没错。由图像可知，当 x = 40 时，y = 20。代入到 y = KX 中得到 40k = 20，解这个方程得到 k = 1/2，所以 y = 1/2x。当 x 大于 40，小于或等于 100 时，它是一次函数，可以怎么设它的表达式呢？
生：设 y = kx + b。
师：很好。由图像可知，当 x = 40 时，y = 20；当 x = 100 时，y = 40。代入表达式，我们得到一个关于 k、b 的二元一次方程组：40K + b = 20，100K + b = 40。请同学们解这个方程组求出 k、b 的值。
（学生计算）
生：通过计算我们求得 k = 1/3，b = 20/3，代入 y = kx + b 得到 y = 1/3x + 20/3。
师：非常好。本题中对于自变量的不同取值用不同的表达式表示的是同一个函数关系，都是表示接种人数 y 万人与接种时间 x 天之间的函数关系，所以在书写的时候我们要体现它的整体性，用大括号连接起来，并在每一个表达式后面写上自变量的取值范围。本题所给出的在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数叫做分段函数。请同学们注意：一、分段函数是一个函数，而不是几个函数；二、每一段函数后面必须加上自变量的取值范围。分段函数在生活中有很多应用，常见的生活交费、邮寄信件、托运行李等都需要用到分段函数的知识。比如这样一个问题：为节约用水，某城市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过 8 立方米时，每立方米收取 1 元，外加 0.3 元的污水处理费；超过部分，每立方米收取 1.5 元，外加 1.2 元的污水处理费。设一户每月用水量为 x 立方米，应交水费 y 元。
（1）给出 y 与 x 之间的函数表达式。仔细审题后，我们发现两个关键词“不超过”与“超过部分”，所以本题中 y 与 x 之间的函数表达式也是一个分段函数。第一段自变量的取值范围是 x 大于或等于 0，小于或等于 8，此时 y 与 x 的函数表达式为 y =（1 + 0.3）x = 1.3x。当 x 大于 8 时，y = 1.3×8 +（1.5 + 1.2）×（x - 8），化成一般形式为 2.7x - 11.2。按照分段函数的书写要求，用大括号连接起来，并在每一个表达式后面写上自变量的取值范围，于是我们得出本题 y 与 x 之间的函数表达式为：y = 1.3x，（x 大于或等于 0，小于或等于 8）；y = 2.7x - 11.2，（x 大于 8）。表达式我们求出来了，请大家画出这个函数图像。如何画函数图像呢？前面我们学习了画函数图像的步骤：列表、描点、连线。按照这个步骤我们列出表格，建立平面直角坐标系，描点连线画出这个分段函数的图像。这里要强调在画分段函数图像时也要注意自变量的取值范围，图像的第一段是线段，第二段是一条射线。
（2）在这个实际问题中，如果我们知道某户的月用水量，能否求出其应缴的水费呢？第三小题，当该市一户某月的用水量为 x = 5 立方米或 x = 10 立方米时，求其应缴的水费。这是已知自变量的值求函数值，我们要把自变量的值代入到函数表达式，但这是个分段函数，有两个表达式，应该代入到哪一个表达式呢？
生：要先判断所给出的自变量在哪个取值范围内，再代入到相应的函数表达式进行求值。
师：非常对。当 x = 5 立方米时，在 x 大于或等于 0，小于或等于 8 这个范围内，代入第一个表达式计算 y = 1.3×5 = 6.5 元。当 x = 10 立方米时，在 x 大于 8 这个范围内，代入第二个表达式计算 y = 2.7×10 - 11.2 = 15.8 元。所以当用水量为 5 立方米时，应缴水费 6.5 元；当用水量为 10 立方米时，应缴水费 15.8 元。
（3）反过来，若已知某月所缴水费，该怎样求这个月的用水量呢？第 4 小题，该市一户某月缴水费 26.6 元，求该户这个月用水量。这是已知函数值求自变量的值，解决这个问题，我们同样需要判断用水量在哪个范围内。第一个表达式 y = 1.3x，（x 大于或等于 0，小于或等于 8），当 x = 8 时，它有最大值 1.3×8 = 10.4。因为 y = 26.6 大于 10.4，可见该户这月用水超过 8 立方米。由此我们可以看出该户这个月用水量在 x 大于 8 这个取值范围内，因此要把 y = 26.6 代入到第二个表达式，得到方程 2.7x - 11.2 = 26.6，解这个方程得 x = 14。所以该户本月用水量为 14 立方米。通过接种疫苗和水费缴纳这两个实例，我们初步了解了分段函数，能从所给的函数图像中获取信息解决问题，也能根据题意求出分段函数的表达式，并画出函数图像。