师：好，大家好，欢迎来到今天的数学课堂。今天我们学习的内容是北师大版九年级下册第二章二次函数的回顾与思考。首先进入本节课的第一个环节——知识梳理。二次函数包含以下要点：二次函数的定义、图像与性质、表达式的确定、应用（包括最大面积和最大利润问题），以及二次函数与一元二次方程之间的关系。
我们先来看二次函数的定义。一般地，若两个变量(x)、(y)之间的对应关系可以表示成(y = ax2 + bx + c)（(a)、(b)、(c)是常数，且(a≠0)）的形式，则称(y)是(x)的二次函数。这里有两个温馨提示：第一，关于(x)的代数式一定是整式，(a)、(b)、(c)为常数，且(a≠0)；第二，等式右边未知数的最高次数为(2)，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
接下来了解二次函数的图像与性质。我们以开口向上的抛物线为例，抛物线是轴对称图形，其性质包含以下五个方面：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。这其中运用了数形结合思想，我们将函数关系式绘制成图形，由图形得出相关性质并加以应用。下面以顶点式(y = a(x - h)2 + k)为例讲解这五个方面的性质。
当(a＞0)时，开口向上；当(a＜0)时，开口向下。对称轴是直线(x = h)，顶点坐标是((h,k))。在最值方面，当(a＞0)时，因为开口向上，所以有最小值(k)；当(a＜0)时，开口向下，有最大值(k)。在增减性方面，当(a＞0)时，开口向上，在对称轴左边，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右边，(y)随(x)的增大而增大。当(a＜0)时，开口向下，在对称轴左边，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右边，(y)随(x)的增大而减小。下面讲讲平移的相关知识。
从(y = ax2)开始，通过上下平移可以得到(y = ax2 + k)；通过左右平移可以得到(y = a(x + h)2)。并且在(y = a(x + h)2)的基础上进行上下平移，能得到(y = a(x + h)2 + k)。如果想从(y = ax2)通过平移直接得到(y = a(x + h)2 + k)，需要经过两次平移，即左右平移和上下平移。平移知识可以概括为“上加下减，左加右减”这八个字。
第三部分是二次函数的表达式。通过本章学习，我们知道二次函数的表达式有三种形式：一般式(y = ax2 + bx + c)（(a≠0)）；顶点式(y = a(x - h)2 + k)（(a≠0)）；交点式(y = a(x - x?)(x - x?))（(a≠0)）。这里交点式中的交点指的是图像与(x)轴的交点，其坐标分别是((x?,0))、((x?,0))。
第四部分是二次函数的应用，课本上主要介绍了最大面积问题和最大利润问题。解决最大面积问题的步骤是：首先审题，根据题意设出未知数，列出二次函数关系式，并根据实际问题写出自变量的取值范围，最后运用公式法或配方法求出面积的最大值。最大利润问题的解题步骤为：第一，明确总利润等于单利润乘销售数量；第二，通过审题设出未知数，列出关系式；第三，运用公式法或配方法求出利润的最大值。
第五部分是二次函数与一元二次方程之间的关系。二次函数(y = ax2 + bx + c)与(x)轴交点的横坐标就是方程(ax2 + bx + c = 0)的根。它们有如下关系：当(ax2 + bx + c = 0)有两个不相等的实数根时，(\Delta＞0)，图像与(x)轴有两个交点；当(ax2 + bx + c = 0)有两个相等的实数根时，即(\Delta = 0)，此时图像与(x)轴只有一个交点；当(ax2 + bx + c = 0)没有实数根时，(\Delta＜0)，图像与(x)轴没有交点。所以我们可以通过方程解的个数得出图像与(x)轴交点的个数。下面进入典例解析环节，请各位同学看例题。
例一，已知抛物线(y = x2 - 4x + 3)，思考以下几个问题。
师：第一题，抛物线开口方向如何？化为顶点式是什么？
生：抛物线开口向上，化为顶点式为(y = (x - 2)2 - 1)。
师：第二题，抛物线的对称轴和顶点坐标分别是什么？
生：抛物线的对称轴为直线(x = 2)，顶点坐标为((2,-1))。
师：第三题，该二次函数的最值是多少？
生：该二次函数有最小值为(-1)。
师：第四题，抛物线与(y)轴以及(x)轴的交点坐标分别是什么？
生：抛物线与(y)轴的交点坐标为((0,3))，与(x)轴的交点坐标为((1,0))、((3,0))。
师：第五题，将抛物线向左平移(3)个单位长度，再向上平移两个单位长度后的解析式是什么？
生：平移后的解析式为(y = (x + 1)2 + 1)。
师：第六题，当(-2≤x≤5)时，(y)的最大值和最小值分别是多少？
生：(y)的最大值为(15)，最小值为(-1)。
下面看例题。已知抛物线顶点为((3,2))，经过点((0,-1))，求抛物线的表达式。同学们思考一下本题应设出什么样的形式？
生：因为已知顶点，所以可以设抛物线的表达式为(y = a(x - 3)2 + 2)（(a≠0)）。
师：非常好，又因为抛物线经过点((0,-1))，我们把这个点代入表达式能得到什么？
生：把点((0,-1))代入(y = a(x - 3)2 + 2)，得到关于(a)的方程，解得(a = - \frac{1}{3})，所以抛物线表达式为(y = - \frac{1}{3}(x - 3)2 + 2)。
下面看一道根据图形进行判断的题目，请各位同学思考以下几个问题。
师：第一题，由图像可知抛物线开口向下，所以(a)的取值范围是什么？又因为抛物线与(y)轴交于正半轴，(c)的取值范围呢？那如何判断(b)的正负呢？
生：由图像知抛物线开口向下，所以(a＜0)；抛物线与(y)轴交于正半轴，所以(c＞0)。因为对称轴在(y)轴右侧，所以(-\frac{b}{2a}＞0)，从而(\frac{b}{a}＜0)，又因为(a＜0)，所以(b＞0)。