师：同学们，上节课我们学习了合情推理。合情推理是从具体问题出发，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的一种推理。合情推理分为归纳推理和类比推理。下面来看问题一，判断下面几种推理是什么推理。先看第一个例子。同学们，第一个例子是归纳推理，它的推理形式是什么呢？是由个别到一般。再来看第二个例子。
第二个推理是类比推理，它的推理形式是由特殊到特殊。接着看第三个例子，所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能够导电。请问大家，它是合情推理吗？不是，因为它既不符合归纳推理的由个别到一般，也不符合类比推理的由特殊到特殊。既然它不是合情推理，那它是一种怎样的推理呢？这就是本节课要学习的新内容。下面一起来看探究一。
观察下面例子，它们的推理形式有什么特点？先看第一个，太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，这是一般性的原理。天王星是太阳系中的一种特殊情况，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行，得到这样一个结论。再来看第二个例子。三角函数都是周期函数，这是一般性的原理，正切函数是三角函数中的一种特殊情况，因此我们可以得到正切函数是周期函数这样一个结论。请问大家，这两个例子它们的推理形式有什么特点呢？
生：它们都是以某些一般的判断为前提，得到一些个别的具体的判断。
师：同学们说得对，这种形式的推理就是本节课要学习的新内容，我们称为演绎推理。由此得到演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理，简言之就是从一般到特殊的推理。同学们再请看探究。
观察下面三个演绎推理的例子，它们都由几部分组成，各部分都有什么特点？同学们会发现它们的共性特征是可以分为三段，我们简称三段论。那它们各段都有什么特点呢？先看第一段，第一段是已知的一般性原理，我们称为大前提，例如所有的金属都能导电；第二段是我们所研究的特殊情况，我们称为小前提，例如铜是金属；第三段是根据一般性原理对某种特殊情况做出的判断，我们称为结论，例如铜能够导电。由此我们得到了演绎推理的一般模式三段论，第一段大前提是已知的一般原理，第二段小前提是所研究的特殊情况，第三段结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断。同学们，其实我们还可以用集合的知识来说明三段论，请同学们看图。
集合 M 中的所有元素均具有性质 P，S 是 M 的一个子集，则可以得到 S 中的所有元素也都具有性质 P。其实还可以举一个具体的例子来感受一下。所有的金属记为集合 M，都能导电记为性质 P，U 是金属，也就是集合 S 是集合 M 的一个子集，我们则可以推出 U 能够导电，也就是集合 S 中的所有元素都具有性质 P。下面我们还可以用数学语言来描述三段论，大前提 M 是 P，小前提 S 是 M，结论 S 是 P。同学们，你能再举出一些用三段论推理的例子吗？
生：（同学们各自举例）
师：同学们都有自己的例子，老师也带来了两个。先看第一个例子。所有的奇数不能被 2 整除，这是大家都知道的一般性原理，我们称为大前提；2 的 100 次方加一是奇数，这是我们所研究的一种特殊情况，称为小前提；所以我们能够得到 2 的 100 次方加一不能被 2 整除这样一个结论。再请看第二个例子。若两条直线相互平行，则它们的同旁内角互补，这是大前提；角 A 与角 B 是两条平行直线的同旁内角，这是小前提；由此我们可以得到角 A 加角 B 等于 180 度这样一个结论。可能有同学要问，我们学习了演绎推理和三段论，那它们有什么作用呢？其实我们数学的证明主要是通过演绎推理来进行的。下面请同学们来看例一。如图，在锐角三角形 ABC 中，AD 垂直于 BC，BE 垂直于 AC，D、E 是垂足。求证 AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等，请同学们先进行思考，下面我们来进行分析。
求证 AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等，其实就是要求证 DM 等于 EM。那如何求证呢？有同学发现因为 AD 垂直于 BC，M 是 AB 的中点，所以 DM 是直角三角形 ADB 斜边 AB 上的中线，所以 DM 等于 1/2 的 AB；同理，在直角三角形 AEB 中，EM 也是斜边 AB 上的中线，所以 EM 也等于 1/2 的 AB，所以我们只需证 DM 等于 1/2 AB，EM 等于 1/2 AB 即可。
那再请分析如何求证 DM 等于 1/2 AB？只需求证三角形 ADB 是直角三角形，同理，证明三角形 AEB 也是直角三角形。由此，同学们，我们来看整道题，我们要完成两步，第一步要证明三角形 ADB 和三角形 AEB 是直角三角形；第二步要证明 DM 等于 1/2 AB，EM 也等于 1/2 AB。那请问大家如何证明？第一步，证明三角形 ADB 和三角形 AEB 是直角三角形的大前提是什么呢？
生：有一个内角是直角的三角形，我们称为直角三角形。
师：那再看第二步如何求证 DM 等于 1/2 AB 用到的大前提是什么呢？
生：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
师：好，这样我们明确了大前提和小前提，下面我们一起来证明。
首先我们需要第一步证明三角形 ADB 是直角三角形，用到的大前提是有一个内角是直角的三角形，我们称为直角三角形。在本道题中，因为 AD 垂直于 BC，所以角 ADB 等于 90 度，这是小前提。由此我们可以得到三角形 ADB 是直角三角形这样一个结论。至此我们就证明了三角形 ABD 是直角三角形。同理，我们还可以求证三角形 ABE 也是直角三角形。
下面我们再来看第二部分，我们需要证明 DM 等于 1/2 的 AB，用到的大前提是直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。而在本道题中，因为 ADB 是直角三角形，M 是 AB 的中点，DM 是斜边 AB 上的中线，这是小前提，所以我们可以得到这样一个结论，DM 等于 1/2 的 AB。大家看到我们已经完成证明 DM 等于 1/2 AB。同理我们还可以证明 EM 也等于 1/2 AB，那么这样就得证。同学们，你会发现，我们在完成这道证明题时，分为了两步，每一步都用了完整的三段论。可能有同学会说，我是这样证的。
在三角形 ABC 中，AD 垂直于 BC，角 ADB 等于 90 度，所以三角形 ABD 是直角三角形，又因为 M 点是直角三角形 ABD 斜边上的中点，DM 是斜边上的中线，所以 DM 等于 1/2 AB。同理，EM 也等于 1/2 AB，所以 DM 等于 EM。
同学们可以对比两种证明过程，你会发现，在书写证明过程时，我们经常省略大前提，甚至有时候小前提也会省略。虽然大家能够写出证明过程，但并不一定十分清楚证明的逻辑规则，这就会导致大家在论述证明过程时显得杂乱无章。而我们今天所学习的演绎推理，就是将过去蕴含在具体数学问题中的思维方法以集中、显现的方式呈现出来，以便大家能够掌握这些方法，在今后的学习过程当中能有意识地使用它们，从而真正能够做到言之有理，论证有据。下面请同学们来看例 2。证明函数 f(x)等于 -x2 + 2x 在区间(-∞, 1)内是增函数。下面请同学们进行思考。