师：同学们好，这节课我们要学习的内容是第15章第四节角的平分线第一课时。在七年级上册，我们已学过角平分线的定义：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。如图所示，OC平分∠AOB，由此我们能得到∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB，也可以写成∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。
那在纸上画一个角，能用哪些方法做出这个角的角平分线呢？比较容易想到的有两种方法：一、折叠法；二、度量法。如果在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到角平分线吗？显然不行。那么除了度量法，还有没有其他方法做出角平分线呢？
如图是一个可活动的四边形支架，其中QM = QN，PM = PN。利用它就能做出∠AOB的平分线，大家想想该怎么操作？
生：思考中……
师：将Q放在角的顶点O处，QM、QN沿着角的两边放下，作射线OP，OP就是∠AOB的角平分线。那能说明它的道理吗？要说明OP是∠AOB的角平分线，只需说明∠NOP = ∠MOP即可。我们把这两个角分别放入△ONP和△OMP中。在这两个三角形中，ON = OM，PN = PM，再加上OP = OP（公共边），所以△OMP ≌ △ONP，从而∠NOP = ∠MOP，那么OP就是∠AOB的角平分线。这个可活动的四边形支架，我们称为角平分仪。
如果没有角平分仪，用什么数学作图工具能实现它的功能呢？思考一下，要实现角平分仪的功能，也就是要代替OM、ON、PM、PN，显然圆规可以实现。如何用圆规实现角平分线的功能呢？我们一起看。
首先以O为圆心，这里不能说以ON长为半径，要说以任意长为半径画弧，与角的两边交于M、N两点。接下来再以M、N为圆心，以什么长为半径画弧能得到交点P呢？这时半径还可以是任意长吗？
我们来看第一种情况，如果半径小于1/2MN，会发现弧没有交点；当半径等于1/2MN时，两弧确实有一个交点，但这种情况太特殊，这个点看起来不明显；当半径大于1/2MN时，这个交点就很明显了。所以，第二步要分别以M、N为圆心，以大于1/2MN长为半径作弧，两弧交于∠AOB内部一点P，紧接着做射线OP，那么射线OP就是∠AOB的角平分线。
为什么OP是角平分线呢？思考一下。我们连接PM、PN，在△OMP和△ONP中，OM = ON，MP = NP，OP = OP，所以△OMP ≌ △ONP，那么∠MOP = ∠NOP，即OP平分∠AOB。
若∠AOB = 180°，也就是∠AOB的两边成一条直线，会做这个角的角平分线吗？以O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于M、N两点，再分别以M、N为圆心，大于1/2MN长为半径画弧，两弧交于点P，做射线OP，那么OP就平分∠AOB。
此时的角平分线OP与直线AB有什么关系呢？因为OP平分∠AOB，所以∠AOP = ∠BOP = 1/2∠AOB = 90°，即OP⊥AB。这时的角平分线与线段MN又有怎样的关系？由已知OP⊥MN，又因为OM = ON，所以OP垂直平分MN。
下面我们来看过一点如何做已知直线的垂线。
首先，这里已知一点和一条直线，点和直线的位置关系有两种情况：第一种情况，点C在直线AB上；第二种情况，点C不在直线AB上。
好，那么过点C如何做出直线AB的垂线呢？首先看第一种情况，已知直线AB和AB上一点C，求作AB的垂线，使它经过点C。思考一下。
生：思考中……
师：此时要过点C作AB的垂线，与刚才讲的作平角的角平分线类似。以C为圆心，任意长为半径画弧，交直线AB于D、E两点，再分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于点F，过点C、F做直线CF，则直线CF就是所求作的直线。这里要注意，做直线AB的垂线，它是一条直线，与刚才做平角的角平分线是有区别的，平角的角平分线是一条射线。这是过直线上一点做这条直线的垂线。
已知直线AB和直线AB外一点C，求作AB的垂线，使它经过点C。思考一下。
生：思考中……
师：我们把上种情况拿出来参考一下。结合前面的分析，实际上做出来的直线CF是DE的垂直平分线。那么这里我们可以先想办法找到D、E。怎么做呢？首先任取一点K，使K和C在直线AB的两旁，接着以C为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于D、E两点。这两步也可以说成以C为圆心，以大于C到直线AB的线段的长为半径，画弧交直线AB于D、E两点。紧接着分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于点F，再做直线CF，这个直线CF就是所求作的直线。