师：同学们好，欢迎大家和我共同学习一堂数学习题课。这节课是初中数学人教版九年级下册第26章第一小节第三课时。上节课我们学习了反比例函数的图像和性质，先来回顾一下：一般的反比例函数(y=\frac{k}{x})的图像是双曲线，它具有以下性质。
当(k\gt0)时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内(y)随(x)的增大而减小；当(k\lt0)时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内(y)随(x)的增大而增大。从这些性质可以看出，由常数(k)的正负性能得出图像的位置以及(y)随(x)的变化情况。由于反比例函数与其图像的对应关系，反之，由图像的位置和(y)随(x)的变化情况也能得出常数(k)的正负性。这体现了反比例函数(y=\frac{k}{x})中数与形的关联。我们在解决反比例函数相关问题时，常常会运用这样的关联性，由数得形，由形得数，数形结合。
下面来看一则例题。例一，已知反比例函数的图像经过点(A)，坐标是((2,6))。第一小题，这个函数的图像位于第几象限？(y)随(x)的增大如何变化？对此有两种思考路径。
路径一：同学们回想一下，反比例函数的图像是怎样的？它的位置有什么特点？对，它的图像是双曲线，位置存在两种情况，要么在第一、三象限，要么在第二、四象限。题目中告诉我们图像经过点(A(2,6))，点(A)在第一象限，所以图像不可能在第二、第四象限，由此可得这个函数的图像在第一、第三象限。根据反比例函数的性质，通过观察图像就能看出，在每个象限内(y)随(x)的增大而减小。具体解题过程是这样的。解法一：因为点(A(2,6))在第一象限，所以这个函数的图像位于第一、第三象限，在每一个象限内，(y)随(x)的增大而减小。
路径二：同学们对照反比例函数的性质，想一想反比例函数的图像，它的位置和(y)随(x)的变化情况与什么有关呢？对，与常数(k)的正负性有关。那么，我们能否先求出常数(k)，从而得出图像的位置以及(y)随(x)的变化情况呢？根据这个想法，来看思考路径。求常数(k)，得图像的位置。如何求常数(k)呢？分析题目信息，图像经过点(A(2,6))，可得点(A)的坐标满足反比例函数解析式(y=\frac{k}{x})，即当(x = 2)时，(y = 6)。这样就可以利用待定系数法来求(k)的值。
解法二：设这个反比例函数的解析式为(y=\frac{k}{x})。因为图像经过点(A(2,6))，所以点(A)的坐标满足(y=\frac{k}{x})，即(6=\frac{k}{2})，解得(k = 12)，显然(k\gt0)。根据反比例函数的性质，所以这个函数的图像位于第一、第三象限，在每一个象限内，(y)随(x)的增大而减小。下面来看例一的第二小题。
第二小题，点(B(3,4))、点(C(-2\frac{1}{2}, -4\frac{4}{5}))、点(D(2,5))，它们是否在这个函数的图像上呢？同学们想一想如何判断点在图像上？对，要看点的坐标是否满足函数解析式。由第一小题的解法2已经算出(k = 12)，因此这个反比例函数的解析式为(y=\frac{12}{x})。将点(B)、点(C)、点(D)的坐标代入解析式进行检验，因为点(B)、点(C)的坐标满足反比例函数解析式(y=\frac{12}{x})。对于点(D)，将它的横坐标(x = 2)代入解析式得出(y=\frac{12}{2}=6)，与点(D)的纵坐标(5)不相等。由此可见点(D)的坐标不满足该函数解析式。所以点(B)、点(C)在函数(y=\frac{12}{x})的图像上，而点(D)不在这个函数的图像上。
同学们，例一的两小题完成了，来回看一下求解过程中的主要路径。在第一小题的解法2中，通过计算(k)的值，得出了函数图像所在的位置。在第二小题中，通过检验点的坐标是否满足函数解析式，判断出了点是否在图像上。请同学们对比观察一下，它们在思考路径上有什么共同之处呢？同学们想到了吗？对，它们都经历了一个由数到形的过程。
下面再来看一则例题。例2，如图，是反比例函数(y=\frac{m - 5}{x})图像的一支。第一小题，图像的另一支位于哪个象限？常数(m)的取值范围是什么？问题中给出该反比例函数图像中一支在第一象限，那么另一支就应该在第三象限，因为反比例函数的图像只有两种可能，位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限。因为这个函数的图像一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限。那么该小题的第二问，常数(m)的取值范围又该如何确定呢？对照反比例函数解析式的一般形式(y=\frac{k}{x})，会发现题中的(m - 5)与(k)相对应。由于该函数的图像在第一、第三象限，所以(k\gt0)，也就是(m - 5\gt0)，这样(m)的取值范围就可以确定了。具体求解过程是这样的，因为这个函数的图像位于第一、第三象限，所以(m - 5\gt0)，解得(m\gt5)。下面来看例2的第二小题。
在这个函数图像的某一支上，任取点(A(x_1,y_1))和点(B(x_2,y_2))。如果(x_1\gt x_2)，那么(y_1)和(y_2)有怎样的关系呢？我们知道函数图像上点的横坐标对应着函数解析式自变量(x)，那么点的纵坐标就对应着相应的函数值(y)。由第一小题已经得出(m - 5\gt0)，根据反比例函数的性质，在每一个象限内，也就是在图像的每一支上，(y)随(x)的增大而减小。也就是说，在图像的每一支上，(x)越大，(y)就越小。题中信息表明，点(A)、点(B)在图像的某一支上，而且(x_1\gt x_2)，所以(y_1\lt y_2)。
根据以上分析，得出如下解题过程。因为(m - 5\gt0)，所以在这个函数图像的任意支上，(y)都随(x)的增大而减小。因此当(x_1\gt x_2)时，(y_1\lt y_2)。该小题也可以利用图像来观察思考。先画出函数的大致图像，因为图像的两支在第一、第三象限，所以点(A)和点(B)所在的位置存在两种情况。第一种情况，(x_1)、(x_2)均为正数，点(A)和点(B)都在第一象限，这时点(A)、点(B)的大致位置如图所示，观察它们的纵坐标，可以看出(y_1\lt y_2)。第二种情况，当(x_1)、(x_2)均为负数时，点(A)、点(B)就都在第三象限，这时点(A)、点(B)的大致位置如图所示，观察它们的纵坐标，也可以看出(y_1\lt y_2)。