师：各位同学，大家好！今天这节课我们来复习第二章的数列。在数列学习中，我们学了哪些知识点呢？一起来回顾一下。
我们学习了数列的相关概念，数列按项的多少可分为有穷数列和无穷数列。数列可以用列表法、解析法、图像法表示，其中解析法包括通项公式和递推公式。数列是以正整数为自变量的函数，具有函数的相关性质，如单调性、周期性。
在数列学习中，我们还学到了两类特殊的数列：等差数列和等比数列。我们了解了等差数列的定义、通项公式、性质及应用，知道了等差中项，也学习了等差数列前(n)项和公式的推导，以及其基本运算和性质的应用。利用类比思想，我们同样知道了等比数列的定义、通项公式、性质及应用，了解了等比数列中的等比中项，以及它的前(n)项和公式推导、基本运算和性质的应用。
下面我们通过具体例题来巩固和加深对这些知识点的理解。
例一，数列({a_n})的通项公式为(a_n = 3n^2 - 28n)。我们要写出数列的第(4)项和第(6)项。当知道数列的通项公式时，要写出数列中的某一项，只需将序号代入通项公式。第一问，很容易求出(a_4 = -64)，(a_6 = -60)。
第一题比较简单，第二题，(-49)是否为该数列的一项？如果是，它是哪一项？(68)呢？要判断一个数是否为该数列的一项，只需令通项公式等于这个数，求出(n)。若(n)是正整数，它就是该数列中的一项，否则就不是。那么我们令通项公式(3n^2 - 28n = -49)，解这个一元二次方程，得到(n = 7)，所以(-49)就是该数列的第(7)项。当令通项公式等于(68)时，即(3n^2 - 28n = 68)，解出的两个数都不是正整数，从而判定(68)不是该数列中的项。
通过例一我们发现，当知道数列通项公式时，我们可以写出数列中的任意一项，也可以判断一个数是否为该数列中的一项。那么通项公式还有什么其他应用呢？请大家看思考题，这个数列有最小项吗？如果有，请求出最小项。
我们知道数列是特殊的函数，解决数列问题时，往往可以借助函数的思想。同学们看数列({a_n})的通项公式(3n^2 - 28n)，它对应的是一个二次函数，这个二次函数的对称轴很容易求出来，(x = \frac{14}{3})，但这个数不是整数。在它左边，当(x \geq 1)且(x \leq 4)时，函数单调递减；在它右边，当(x \geq 5)时，函数单调递增。我们画出二次函数草图，能更清楚地看出，(1)到(4)单调递减，(5)到正无穷单调递增。由此可以判断这个数列({a_n})有最小项，与(\frac{14}{3})相邻的两个正整数是(4)和(5)。(a_4)和(a_5)谁小谁就是该数列的最小项。计算可得(a_5 = -65)更小一点，所以数列({a_n})的最小项就是(a_5)。这是通过比较(a_4)和(a_5)的大小得出的。我们也可以借助二次函数的草图观察，对称轴(\frac{14}{3})相邻的两个正整数(4)和(5)，发现(5)离对称轴更近一些，所以(5)所对应的函数值更小一点，通过二次函数图像也能很快得出(a_5)是该数列的最小项。
同学们可以借助数列通项公式来判断数列的单调性，从而求出数列中的最大项和最小项，这是数列通项公式的应用。那么在学习数列的过程中，我们学习的等差数列和等比数列，又有哪些题型呢？
先看等差数列、等比数列的基本运算。来看例(2)的第一小题。等差数列({a_n})，(a_6 = 10)，(S_5 = 5)，我们要求(a_8)。大家都知道(a_8 = a_1 + 7d)，所以要确定等差数列的两个基本量(a_1)和(d)。那么我们可以通过条件中的(a_6)和(S_5)，利用通项公式和等差数列的求和公式列出方程组求解。求出(a_1)和(d)后，(a_8 = a_1 + 7d = 16)。第一题，对于等差数列，我们要确定的是两个基本量，首项(a_1)和公差(d)，借助方程组思想求出了(a_1)和(d)。
第(2)小题，等比数列({a_n})是递增数列，(S_n)是该数列前(n)项和。若(a_1)、(a_3)是方程(x^2 - 5x + 4 = 0)的两个根，我们求(S_6)。这两个根我们很快能求出来，是(1)和(4)，对应(a_1)和(a_3)。由于({a_n})是递增数列，所以可以确定(a_1 = 1)，(a_3 = 4)。(a_1 = 1)且是递增数列，那么公比(q)一定大于(1)。通过(a_3 = a_1 \times q^2)就能得出(q = 2)。这样一来，等比数列({a_n})的首项和公比这两个基本量就确定了。我们可以通过等比数列的前(n)项和公式求出(S_6)。
从这两个问题我们发现，要解决等差等比数列的基本运算，需要抓住基本量首项、公差或者首项、公比，利用解方程或方程组思想来确定基本量。
我们还学习了等差数列和等比数列的很多重要性质，这些性质的运用可以让我们在基本运算中优化运算。下面我们一起来看一下等差数列和等比数列有哪些基本性质。
先看通项性质。如果(m)、(n)、(p)、(q)、(k)都是正整数，且满足(m + n = p + q)，在等差数列中，项的关系是(a_m + a_n = a_p + a_q)；在等比数列中，项满足(a_m \times a_n = a_p \times a_q)。特别地，当(m + n = 2k)时，等差数列有(a_m + a_n = 2a_k)，这里的(a_k)称为(a_m)与(a_n)的等差中项；同理，在等比数列中，如果(m + n = 2k)，项满足(a_m \times a_n = a_k^2)，这里的(a_k)也可称为(a_m)与(a_n)的等比中项。这就是等差数列、等比数列的通项性质。下面我们来看它们的应用。
等差数列({a_n})中，条件(a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 450)，求(a_2 + a_8)。大家观察条件中项的下标，(3 + 7 = 4 + 6 = 5 + 5)，那么我们可以借助等差数列的性质得到(a_3 + a_7 = a_4 + a_6 = 2a_5)，代入已知条件，可求出(a_5 = 90)。因为(a_2 + a_8)，下标(2 + 8 = 5 + 5)，再根据等差数列的性质可得(a_2 + a_8 = 2a_5 = 180)，这是等差数列性质的应用。