师：同学们好，欢迎来到数学课堂，我们一起学习分式的混合运算。首先回顾分式的运算法则：
乘法：分子之积作为积的分子，分母之积作为积的分母。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除式的分子分母颠倒位置后与被除数相乘，即化除为乘。
乘方：把分子、分母分别乘方。
加减法：分为同分母和异分母两种情况。同分母时，分母不变，分子相加减；异分母时，先通分化为同分母，再进行加减。
分式的混合运算是在实数混合运算基础上进行的，运算法则相同，区别在于数与式。所以，分式混合运算常类比实数混合运算来解决问题。带着这些运算法则，我们来看问题一。大家思考该如何解决？
生：有的同学发现这是异分母相加减，应先通分，最简公分母是(x(x + 1))。第一个分式分子分母同乘(x + 1)，第二个分式分子分母同乘(x)。
师：对，第一个分式分子展开得到(x^2 - 1)，这里(x^2)与(-x^2)相消为(0)，就得到(\frac{-x}{x(x + 1)})。这个问题要注意，通分一定要确定好最简公分母。现在看第二个问题，其中有哪些运算，运算顺序是什么，你怎么理解？
生：发现既有分式的乘方又有除法，按照先乘方再乘除的顺序。
师：没错，按照先乘方再乘除，化除为乘，也就是第二个分式分子分母颠倒位置。同时，第一个分式里的(x^2 - 1)利用平方差公式因式分解为((x + 1)(x - 1))。此时约去(x - 1)，再约去(x)，最终结果是(\frac{x - 1}{x(x + 1)})。这里要注意先乘方再乘除。当遇到能因式分解的多项式，一定要先因式分解，不能分解的视作一个整体，结果要化到最简，即不能再约分。
问题一和问题二解决了，我们来看例(6)。同学们观察，不难发现它就是刚刚讲的问题一减问题二，实际上部分已解决。梳理一下，这里有乘方、除法、减法还有括号，按照先乘方再乘除后加减，有括号先算括号里的运算顺序进行。第二部分(x^2 - 1)因式分解为((x + 1)(x - 1))，目的是约分，约去(x - 1)，再约去(x)。减号前面部分分子(x^2)与(-x^2)相消。此时分母变为同分母相加减，分母是(x(x + 1))，分母不变，分子相加减，分子里(-1)和(1)相消为(0)。这时结束了吗？显然没有，分子分母都有(x)，还可再次约分得到(\frac{-1}{x + 1})。
通过例(6)再次梳理，先乘方再乘除后加减，有括号先算括号里的。遇到能因式分解的多项式先因式分解，计算结果要化成最简分式或整式。学习到这里，相信大家对分式有了一定掌握，来挑战一下，看练习一。建议认真思考并试着做出来，完成了吗？我们一起看。
这个运算有括号有除法，按运算顺序先算括号里的。但发现括号里有数字(1)，把(1)看作(\frac{x - 1}{x - 1})，便于同分母运算，得到相应式子。整理后化除为乘，分母(x^2 - 1)因式分解为((x + 1)(x - 1))，约去(x)，再约去(x - 1)，最终得到(x + 1)，这是严格按运算顺序进行的。
乘法分配律可简化运算，这里先把除转化为乘，将(\frac{x^2 - 1}{x})利用分配律分配进去。与第二项相乘时，(x^2 - 1)因式分解为((x + 1)(x - 1))，约去(x - 1)。此时分母都是(x)，分子相加减，再次约分得到(x + 1)，这是运用乘法分配律简便运算。通过这个练习可知，分式混合运算一般按运算顺序进行，同时观察题目结构特点，适当运用运算律或技巧简化运算。
分式混合运算综合性强，是整式运算、因式分解、分式运算的综合点。解答问题要注意知识点整合。是不是所有除和括号都能用乘法分配律呢？看第二个练习，是一个括号除以一个分式，这里是分式除以括号，还能用分配律吗？
生：除法没有分配律，即便把括号变成倒数也没法用。
师：对，唯一办法是先算括号里的。括号里有整式(a + 2)，把它看作分母是(1)的式子，通分时分母分子同乘(a - 2)，括号里就变成同分母相加减。整理分子得到(a^2 - 9)，利用平方差公式分解为((a + 3)(a - 3))，分母(2a - 4)分解为(2(a - 2))。因式分解同时把除转化为乘，准备约分。这里要注意，(a - 2)可以直接约去，但分子(3 - a)与分母(a - 3)，可对(3 - a)转换为(-(a - 3))，才能放心约去(a - 3)，避免符号错误，最终得到(-\frac{2(a + 1)}{3})。