师：这节课开始，我们一起学习一类新的函数。在这之前，先复习一下什么是函数。一般来说，在某个变化过程中有两个变量(x)、(y)，如果对于(x)的每一个确定的值，(y)都有唯一的值与它对应，那么就称(y)是(x)的函数，其中(x)是自变量。我们已经学过哪些函数呢？有一次函数和正比例函数，它们的图像均为直线。
下面来看两幅图。公园里喷水池喷出来的水柱形成一道道曲线；篮球场上，三分线、罚球线离篮筐远近不同，起跳高度不同，篮球出手角度也有细微区别。实际上，喷出的水柱、出手的球在空中划过的曲线都符合同一类函数的图像。通过本章学习，大家会对上述情境有更深入的理解。生活中有很多实际问题都可以抽象归纳为数学模型，通过对数学模型的研究，反过来解决实际问题。那么这一章我们要学习的数学模型是什么呢？先来看几个简单的问题。
问题一：正方体的(6)个面是全等的正方形，设正方体棱长为(x)，表面积为(y)，那么(y)与(x)有什么关系呢？我们知道正方体每个面面积为棱长的平方，正方体有上下、左右、前后(6)个面，所以表面积(y = 6x2)。显然，对于棱长(x)的每一个值，表面积(y)都有一个对应值，即(y)是(x)的函数。
问题二：(n)个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛场次数(m)与球队数(n)有什么关系呢？每个球队都要与除自己以外的(n - 1)个球队比赛，一共有(n)个球队，就要比(n×(n - 1))场，但甲队与乙队比赛和乙队与甲队比赛是同一场比赛，所以还要再除以(2)。因此，总共场次数(m = \frac{1}{2}n×(n - 1))，化简后为(m = \frac{1}{2}n2 - \frac{1}{2}n)。所以这个式子表示的是比赛场次(m)与球队(n)的关系。对于(n)的每一个值，(m)都有一个对应值，也就是说(m)是(n)的函数。
问题三：某种产品现在年产量是(20)吨，计划今后两年增加产量。如果每一年都比上一年的产量增加(x)倍，那么一年后产量就是(20)吨加上增加的(20x)吨，即(20(1 + x))吨，再过一年到第二年就要再乘一个((1 + x))，所以两年后的产量(y = 20(1 + x)2)，化简后(y = 20x2 + 40x + 20)。这个式子表示了两年后产量(y)与计划增产倍数(x)之间的关系。对于(x)的每一个值，(y)都有一个对应值，所以(y)是(x)的函数。
观察问题(1 - 3)的函数关系式，它们有什么共同点呢？跟我们之前学的一次函数有什么不同？从指数看，这里自变量最高次都为二次；从外形看，都是形如(y = ax2 + bx + c)的形式；从系数看，(a)、(b)、(c)都是常数，但(a ≠ 0)，(b)、(c)没有限定。因此，我们把这一类函数叫做二次函数。请大家仿照一次函数，给二次函数下个定义。
生：二次函数是指形如(y = ax2 + bx + c)的函数，(x)是自变量，其中(a)、(b)、(c)为常数，(a ≠ 0)。
师：非常好。另外，(ax2)是二次项，(a)叫做二次项系数；(bx)是一次项，(b)是一次项系数；(c)是常数项。所以二次函数的一般形式为(y = ax2 + bx + c)，其中(a)、(b)、(c)为常数，(a ≠ 0)。那么二次函数还有哪些特殊形式呢？
生：当一次项系数(b = 0)时，解析式为(y = ax2 + c)；当常数项(c = 0)时，解析式为(y = ax2 + bx)；当一次项系数和常数项都为(0)时，解析式为(y = ax2)。
师：很好。学习了二次函数的概念之后，下面来看一道例题。判断下列函数中哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数和常数项。
第一道题(s = 3 - 2t2)，它虽然没有一次项，但有二次项(-2t2)，二次项系数为(-2)，不为(0)，符合二次函数定义。
第二题(y = x2 + x3 + 25)，对于自变量(x)来说，最高次为三次，超过二次，且三次项系数不为(0)，所以不是二次函数。
第三题(y = 3(x - 1)2 + 1)，化简可得(y = 3(x2 - 2x + 1) + 1 = 3x2 - 6x + 4)，含有二次项，且二次项系数不为(0)，是二次函数。
第四题(y = \frac{1}{x2} + x)，这里(x2)在分母位置，不是整式，不符合二次函数一般形式(y = ax2 + bx + c)，不是二次函数。
再看四道题目：
第五题(v = \sqrt{3}r2)，虽没有一次项和常数项，但有二次项(\sqrt{3}r2)，二次项系数为(\sqrt{3})，不为(0)，符合二次函数定义。
第六题(y = 22 + 2x)，这里是(2)的平方，(2)是常数，平方后还是常数，自变量(x)最高次是一次，不是二次函数。
第七题(y = (x + 3)2 - x2)，用完全平方公式展开得(y = x2 + 6x + 9 - x2 = 6x + 9)，(x)最高次数为一，不是二次函数。
第八题(y = mx2 + nx)，由于没有对(m)进行限制，(m)有可能等于(0)，只有(m ≠ 0)时，才是二次函数，所以不一定是二次函数。
下面把二次函数列出来，看它们的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么。
第一题(s = 3 - 2t2)，按(t)降幂排列为(s = -2t2 + 3)，二次项系数是(-2)，一次项系数是(0)，常数项为(3)。
第三题(y = 3(x - 1)2 + 1)，化简为(y = 3x2 - 6x + 4)，二次项系数为(3)，一次项系数为(-6)，常数项为(4)。
第五题(v = \sqrt{3}r2)，可理解为(v = \sqrt{3}r2 + 0r + 0)，二次项系数为(\sqrt{3})，一次项系数和常数项均为(0)。
由此可见，判断一个函数是二次函数，需确认它含有二次项，且二次项系数不为(0)。在书写二次项系数、一次项系数和常数项时，要把二次函数化简成一般形式(y = ax2 + bx + c)，再对应写各项系数，注意各项系数的符号。能够识别二次函数之后，下面用二次函数的概念来解题。