师：同学们大家好，欢迎来到今天的数学课堂。今天我们一起学习初中数学北师大版八年级上册第七章第三节——平行线的判定。同学们想一想，生活中常见的平行线有哪些呢？能从这三幅图中找到平行线吗？像向远方无限延伸的铁轨是平行的，笔直站立的路灯是平行的，大街上斑马线的白色线条也互相平行。那我们怎么判定两条直线平行呢？带着这个疑问，开始今天的学习。
首先，给出平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简单说成：同位角相等，两直线平行。现在请大家尝试把这条公理用数学语言表示。
生：这条公理用数学语言表示为，如图所示，因为角1等于角2，所以直线a平行于直线b，判定依据是同位角相等，两直线平行。
师：那大家认为，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，这个命题正确吗？请说明理由。我们若想说明一个命题正确与否，需要将它转换成数学语言，再经过严格推理得出结论。现在请同学们拿起纸笔，暂停视频，亲自试一试。
（学生思考做题）
师：相信大家已经完成了这个命题的证明，这是个真命题。把这个命题转换为数学语言就是，如图，角1和角2是直线a、b被直线c截出的内错角，且角1等于角2，求证直线a平行于直线b。证明如下：因为角1等于角2，角1又等于角3（依据是对顶角相等），由等量代换可得角2等于角3，所以直线a平行于直线b（依据是同位角相等，两直线平行）。这里我们把命题的条件转化为公理的条件来证明。由此，我们得到平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简单说成：内错角相等，两直线平行。现在请大家尝试将这条定理用数学语言表示出来。
生：这条定理用数学语言表示为，如图所示，因为角1等于角2，所以直线a平行于直线b，判定依据是内错角相等，两直线平行。
师：那两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，这个命题正确吗？请说明理由。现在请大家把这个命题转换成数学语言，暂停视频，自己动手证明该命题是否正确。
（学生思考做题）
师：相信经过上个定理的证明过程，大家已经得出结论，这也是个真命题。将这个命题转换为数学语言为，如图，角1和角2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且角1与角2互补，求证直线a平行于直线b。证明过程如下：因为角1与角2互补，所以角1 + 角2 = 180度（依据是互补的定义），所以角1 = 180度 - 角2（依据是等式的性质）。又因为角3 + 角2 = 180度（依据是平角的定义），所以角3 = 180度 - 角2（依据是等式的性质）。由等量代换可得角1等于角3，而角1与角3是同位角，所以直线a平行于直线b（依据是同位角相等，两直线平行）。这里我们同样是把命题的条件转化为公理来证明。因此，我们得到平行线的第二个判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简单说成：同旁内角互补，两直线平行。现在请大家将这条定理用数学语言表示出来。
生：这条定理用数学语言表示为，如图所示，因为角1 + 角2 = 180度，所以直线a平行于直线b，判定依据是同旁内角互补，两直线平行。
师：至此，我们得到了三条平行线的判定依据，一条公理：同位角相等，两直线平行；两条定理：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。接下来通过一组练习检测大家对以上内容的掌握情况。大小完全相等的两块三角板，按如图所示的方式摆放，能从图中找到平行线吗？请说明理由。
生：左边第一个图形中，两条红色横线互相平行，原因是同位角相等，两直线平行。中间图形画出的两条横线平行，原因是内错角相等，两直线平行。右边图形的两条竖线平行，原因是同旁内角互补，两直线平行。