师：同学们，大家好，这节课我们一起来学习等腰三角形第四课时。前几节课我们已经学习了等腰三角形以及等边三角形的性质和判定方法，我们先来回顾一下。
等腰三角形有两个重要性质。第一个性质：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。比如在等腰三角形ABC中，AB等于AC，那么AB与AC所对的角C与角B就相等。第二个性质：等腰三角形顶角的平分线，垂直平分底边，简称“三线合一”。这里指的是等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线、底边上的中线互相重合，这三个元素中有一个元素，就能够推出另两个元素。
那等腰三角形的判定方法又有哪些呢？方法一，有两条边相等的三角形是等腰三角形。方法二，有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。同学们要注意区分，“等边对等角”是由边相等推出角相等，它是等腰三角形的性质；而“等角对等边”是由角相等推出边相等，它是等腰三角形的判定方法。
接下来我们看看等边三角形的性质和判定方法。等边三角形性质一，三条边相等；性质二，三个内角相等，每一个内角都等于60度；性质三，“三线合一”。这里指的是等边三角形每一个内角的平分线与它对边上的高线以及对边上的中线互相重合。
等边三角形的判定方法有：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。这三个方法之间可以互相推导。
本节课我们将在等边三角形性质和判定的基础上，通过动手实践探究新知识。请同学们拿出两个含30度角的三角尺，摆放成如图所示的图形。思考一下，能否借助这个图形找到直角三角形ABC中30度角所对的直角边BC与斜边AB之间的数量关系？
观察图形，我们不难发现，图中角BAD等于角B等于角D等于60度，所以三角形ABD是一个等边三角形。因为AC垂直BD，根据等边三角形“三线合一”的性质，AC是BD边上的高线，也就是BD边上的中线，所以BC等于1/2 BD，又因为BD等于AB，我们就得到BC等于1/2 AB。从这个操作中我们得到一个结论：直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半。
不过这个结论是从操作中得到的，具有一定特殊性，若想变成一般性结论，还需经过推理论证。下面我们一起来证明这个猜想。
先画出图形，写出已知、求证。已知：如图，在直角三角形ABC中，角ACB等于90度，角A等于30度，求证BC等于1/2 AB。
通过前面的拼图操作，我们找到这样的证明思路：延长BC至点D，使得CD等于BC，连接AD，构造一个与三角形ABC全等的三角形ADC，得到等边三角形ABD，然后根据等边三角形的相关性质进行证明。
因为角ACB等于90度，所以角ACD等于180度 - 90度 = 90度。在三角形ACB与三角形ACD中，因为BC等于DC，角ACB等于角ACD，AC等于AC，根据“边角边”，我们判定这两个三角形全等。所以AB等于AD（全等三角形的对应边相等），角DAC等于角BAC等于30度（全等三角形的对应角相等），所以角BAD等于30度 + 30度 = 60度。这样我们得到三角形ABD是一个等边三角形。因为BC等于CD，也就是BC等于1/2 BD，而BD等于AB，所以得到BC等于1/2 AB。
我们这种证明方法是延长了短边BC，借助全等三角形和等边三角形相关性质来证明的，这种添加辅助线的方法是几何中常用的“补短法”。那是否可以在长边AB上截取一段等于BC，然后再证AB上剩下的一段也等于BC，进而说明BC等于1/2 AB呢？我们来看一下。
在AB上截取BD等于BC，连接CD。因为角ACB等于90度，角A等于30度，所以角B根据三角形内角和算出等于60度。这样我们得到三角形BCD是一个等边三角形。根据等边三角形的性质，我们得到角BDC等于60度，BC等于CD。
因为角BDC是三角形ADC的外角，根据外角的性质我们可以得到角ACD等于角BDC - 角A = 60度 - 30度 = 30度。根据“等角对等边”，我们可以得到AD等于CD，所以AD也就等于BC。这样就证明了AB被截取的两段BD与AD都等于BC，所以AB就等于两倍的BC，即BC等于1/2 AB。
通过以上证明，我们得到了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。它的应用格式是：在直角三角形ABC中，角C等于90度，角A等于30度，所以30度所对的直角边BC等于斜边AB的一半，或者斜边AB等于30度角所对直角边的两倍，即AB等于两倍的BC。
下面我们通过一个例题来体会含30度角的直角三角形的性质。如图是物价设计图的一部分，BC、DE这两个立柱垂直于横梁AC，D是AB的中点，AB等于7.4米，角A等于30度。求立柱BC、DE的长度。
分析图形，因为BC、DE垂直于横梁AC，角A等于30度，所以图中三角形ADE以及三角形ABC均是含30度角的直角三角形。在直角三角形ABC中，运用含30度角的直角三角形的性质可以得到BC等于1/2 AB。因为AB等于7.4米，代入求值即可求出BC的长。而在三角形ADE中，DE是30度角所对的直角边，根据含30度角的直角三角形的性质，我们可以得到DE等于1/2 AD。由于D是AB的中点，所以可以求出AD的长，也就求出了DE的长。
下面我们把分析思路理顺成具体的解题步骤。因为DE垂直AC，BC垂直AC，角A等于30度，所以BC等于1/2 AB，DE等于1/2 AD。因为AB等于7.4米，代入求值得到BC等于1/2 × 7.4 = 3.7米。因为D是AB的中点，也就是AD等于1/2 AB，所以DE等于1/2 AD = 1/2 × 3.7 = 1.85米。
最后作答，立柱BC的长是3.7米，DE的长是1.85米。接下来我们再通过几个练习来进一步体会含30度角的直角三角形的性质。
第一题，在三角形ABC中，角A : 角B : 角C = 1 : 2 : 3，若AB等于10，求BC的长。
在这个问题中，已知三角形ABC三个内角的度数之比，根据三角形内角和等于180度，我们可以算出每一个内角的度数，从而判断出三角形ABC的形状。因为角A : 角B : 角C = 1 : 2 : 3，所以设角A = x度，角B = 2x度，角C = 3x度。根据三角形内角和定理，可得x + 2x + 3x = 180，解这个方程，得到x = 30，所以角A = 30度，角B = 60度，角C = 90度。这样我们发现三角形ABC是含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，30度角所对的直角边BC等于斜边AB的一半。由于AB等于10，所以BC等于1/2 × 10 = 5。