师：同学们好，欢迎来到数学课堂。我们今天来学习初中数学人教版八年级上册第14章第一节整式乘法第6课时。准备好了吗？那就跟着老师一起开启今天的数学之旅。我们前面学过同底数幂的乘法，它的法则内容是什么？该如何表示呢？
生：同底数幂相乘的法则是，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即(a^m×a^n = a^{m + n})，其中(m)、(n)都是正整数。
师：非常好。我们知道除法是乘法的逆运算，那能否利用整式的乘法来讨论整式的除法呢？今天我们通过三个活动来进行学习。
首先看活动一：同底数幂的除法探究。大家能计算这3个问题吗？
(2^5÷2^3)等于多少？我们根据乘方的意义，将(2^5)拆成(5)个(2)相乘，(2^3)写成(3)个(2)相乘。根据除法运算，上下各约去(3)个(2)相乘，剩下(2×2)，也就是(2^2)。我们发现这个指数等于(5 - 3)，即(2^{5 - 3})。
(a^3÷a^2)等于多少？同样利用乘方的意义写成(a×a^2÷a^2)，上下各约去两个(a)相乘，剩下一个(a)，所以等于(a^1)，它的指数(1 = 3 - 2)，即(a^{3 - 2})。
(x^{10}÷x^6)等于多少？利用乘方的意义写成(10)个(x)相乘除以(6)个(x)相乘，上下各约去(6)个(x)相乘，还剩下(4)个(x)相乘，利用乘方的意义写成(x^4)，也就等于(x^{10 - 6})。
通过上面三个式子，同学们能否回答下面的问题：试猜想(a^m÷a^n)应该等于多少呢？其中(m)、(n)都是正整数，且(m > n)。能不能证明你的结论？大家开动脑筋思考一下。
生：（思考、讨论）
师：我们一起来看。猜想(a^m÷a^n = a^{m - n})，其中(a≠0)，(m)、(n)都是正整数，且(m > n)。如何证明呢？(a^m÷a^n)，利用乘方的意义写成(m)个(a)相乘除以(n)个(a)相乘。因为(m > n)，上下可以约去(n)个(a)相乘，分子还剩下(m - n)个(a)相乘，根据乘方的意义可以写成(a^{m - n})。这样我们就得到同底数幂的除法法则了，大家会归纳吗？
生：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
师：对，一般地，(a^m÷a^n = a^{m - n})，其中(a≠0)，(m)、(n)都是正整数，且(m > n)。从这个法则可以看出，它应具备的条件是同底数幂和除法运算，由此能得到两个结论：一是底数不变，二是指数相减。所以运用法则时要严格依据条件得出结论。
大家想一想，法则中为什么要强调(a≠0)呢？
生：因为(0)不能做除数。
师：非常好。那再想一想，当公式中的(m = n)时，(a^m÷a^n)又等于多少呢？
生：(a^m÷a^m = 1)，因为两个相同数相除等于(1)。同时根据同底数幂的除法法则，(a^m÷a^m)满足同底数幂除法条件，得到底数(a)不变，指数(m - m = 0)，即(a^0)。
师：这里得到两个答案，(1)和(a^0)，它们表示同一个式子的结果。所以我们规定(a^0 = 1)，其中(a≠0)，也就是任何不等于(0)的数的(0)次幂都等于(1)。
我们已经讲了法则及注意点，下面利用同底数幂的除法法则解决一些实际问题。
计算：
(x^8÷x^2)。
((ab)^5÷(ab)^2)。
大家在计算时要严格按照除法法则，先确定是否是同底数幂相除，再利用法则底数不变，指数相减。
生：（计算）
师：我们来看，第一题(x^8÷x^2)属于同底数幂相除，所以等于(x^{8 - 2} = x^6)。第二题((ab)^5÷(ab)^2 = (ab)^{5 - 2} = (ab)^3)。这里要把(ab)当作一个整体，不过我们前面学过积的乘方，要将其展开成(a^3b^3)，一定要化成最简形式。
相信同学们对同底数幂的除法法则有了一定了解，下面练一练。
计算：
(( - xy)^{13}÷( - xy)^8)。
((x - 2y)^3÷(2y - x)^2)。
((a^2 + 1)^6÷(a^2 + 1)^4÷(a^2 + 1)^2)。
大家可以按下暂停键，拿出草稿纸自己计算。
生：（计算）
师：我们来看答案。
原式( = ( - xy)^{13 - 8} = ( - xy)^5 = - x^5y^5)。
我们发现((x - 2y))和((2y - x))底数不同，将((2y - x)^2)化成((x - 2y)^2)，就符合同底数幂的除法了，原式( = (x - 2y)^{3 - 2} = x - 2y)。
把(a^2 + 1)当作一个整体，依据法则等于((a^2 + 1)^{6 - 4 - 2} = (a^2 + 1)^0)。根据(a^0 = 1)（(a≠0)），这里底数(a^2 + 1)不为(0)，所以((a^2 + 1)^0 = 1)。
通过前面的例题和练习，要注意以下问题：
首先要判定是同底数幂相除，指数才能相减。
题目中若没有特殊说明结果形式要求，都要化到最简。
本教科书中若无特别说明，含有字母的除式均不为(0)。
这是活动一，接下来我们进行活动二：单项式除以单项式探究。
计算(12a^3b^2x^3÷3ab^2)等于多少呢？这属于单项式除以单项式，我们利用乘除的互逆关系，用乘法来解决除法。因为(4a^2x^3×3ab^2 = 12a^3b^2x^3)，所以(12a^3b^2x^3÷3ab^2 = 4a^2x^3)。
如何理解这个结果呢？商(4a^2x^3)的系数(4)，等于(12÷3)；(a)的指数(2)，等于(3 - 1)；(b)的指数(0)，等于(2 - 2)，而(b^0 = 1)；(x)的指数(3)，等于(3 - 0)。