师：同学们好，这节课我们继续学习弧长和扇形面积。同学们还记得弧长和扇形面积分别是什么吗？弧长公式为(l = \frac{n\pi r}{180})，扇形面积公式为(S = \frac{n\pi r^{2}}{360} = \frac{1}{2}lr)。公式中，(n)表示圆心角的度数，(r)表示半径，(l)表示扇形中的弧长。
下面请同学们利用公式完成两个练习。
第一题，半径为(6)的圆中，(120)度的圆心角所对的弧长和扇形面积分别是多少？知道半径和圆心角，直接利用弧长和扇形面积公式计算。将(n = 120)，(r = 6)代入弧长公式，(l = \frac{120}{180}\pi×6 = 4\pi)。将(n = 120)，(r = 6)代入扇形面积的第一个公式(S = \frac{120}{360}\pi×6^{2} = 12\pi)。即半径为(6)的圆中，(120)度的圆心角所对的弧长是(4\pi)，扇形面积是(12\pi)。
第二题，一个扇形的弧长是(20\pi)厘米，面积为(240\pi)平方厘米，求扇形的圆心角。知道扇形的弧长和面积，如何求扇形的圆心角呢？利用弧长公式还需求半径的值，利用扇形面积第一个公式也需要求半径的值，均无法直接求出圆心角。观察扇形面积的第二个公式(S = \frac{1}{2}lr)，知道弧长和面积，则可以求出半径，再利用弧长或扇形面积公式可以求出圆心角。解答如下：
由扇形面积(S = \frac{1}{2}lr)得(240\pi = \frac{1}{2}×20\pi×r)，解得(r = 24)厘米。
求出半径后，由扇形面积(S = \frac{n\pi r^{2}}{360})得(240\pi = \frac{n\pi×24^{2}}{360})，解得(n = 150)。
求出半径后，也可以由弧长(l = \frac{n\pi r}{180})得(\frac{n\pi×24}{180} = 20\pi)，解得(n = 150)。
所以扇形的圆心角为(150)度。
以上两道练习，我们灵活运用了弧长和扇形面积公式。这节课我们继续探究弧长和扇形面积公式在特殊图形中的应用。
请同学们观察下面的物体，这是我们生活中的蒙古包、冰淇淋。从这些物体中，你能抽象出什么几何图形？
生：抽象出的几何体为圆锥。
师：除这些物体外，生活中还有很多物体是圆锥形，比如我们用的铅笔尖，生日时戴的生日帽等。在七年级时我们就认识了圆锥，我们知道圆锥可以由一个直角三角形绕一条直角边旋转(360)度而形成。通过观察我们知道圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，其中侧面是一个曲面，底面是一个圆，是平面。
认识了圆锥的表面构成，我们再来认识圆锥中的几个常见的元素。
圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任一点的线段，叫做圆锥的母线。如图中的(PA)、(PB)就是圆锥的母线。由于底面圆周上有无数个点，所以任意一个圆锥都有无数条母线。
圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中的(PO)就是圆锥的高。对于任意确定的圆锥，高是唯一的。
底面圆的半径：如图中的(OA)。显然一个圆锥中底面圆的半径有无数条。这就是圆锥中最常见的元素，一般涉及圆锥的问题，需要记住这三个元素并理解。
那么圆锥的母线、高和底面圆的半径之间有什么关系呢？设圆锥的母线为(l)，圆锥的高为(h)，底面圆的半径为(r)。由圆锥的形成可知，圆锥的高与底面圆的半径互相垂直，垂足为底面圆的圆心。则圆锥的母线、高和底面圆上对应的一条半径构成直角三角形。根据勾股定理可得，圆锥的母线、高和底面圆的半径之间的关系为(h^{2} + r^{2} = l^{2})。对于给定的圆锥，它的高和底面圆的半径是确定的。
由以上关系可知，一个圆锥有无数条母线，但它们的长度都相等，简称为圆锥的母线长都相等。
除了认识圆锥中的常见元素及此关系外，如何计算圆锥的侧面积和全面积是这节课的重点学习内容。
我们知道圆锥的侧面是曲面，这个曲面的面积叫做圆锥的侧面积。前面我们已经学习了三角形、平行四边形、梯形、圆等平面图形的面积公式，但曲面的面积公式还没有学习过，如何求曲面的面积呢？数学学习和研究中经常要用到的思想方法有类比、转化、特殊到一般等。将看似复杂困难的问题转换为已知的数学知识去解决。求曲面的面积，我们可以将曲面转换成平面。如何将曲面转换成平面？请看老师的操作。
同学们观察出来了吗？我们沿圆锥的一条母线将侧面剪开并展平，展开后的图形，我们叫圆锥的侧面展开图。圆锥的侧面展开图是什么图形呢？
生：扇形。
师：我们知道扇形中常见的元素有半径、圆心角、弧，它们和圆锥中常见的元素母线、高、底面圆的半径有什么关系呢？设圆锥的母线长为(l)，底面圆的半径为(r)。我们发现展开的扇形的半径为(l)，即圆锥的母线长(l)，展开的扇形的弧长，即圆锥底面圆的周长(2\pi r)。
在扇形中知道半径和弧长，利用扇形面积第二个公式(S = \frac{1}{2}lr)可以求出扇形的面积。因此我们要求圆锥的侧面积就可转换为求展开后的扇形的面积，实现了将曲面问题转换成平面问题。由此我们得到圆锥的侧面积公式，圆锥的侧面积等于展开后的扇形的面积，即(\frac{1}{2}×2\pi r×l = \pi rl)。
知道了圆锥的侧面积公式，又如何求圆锥的全面积呢？观察图形发现圆锥的全面积应等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积，即(\pi rl + \pi r^{2} = \pi r(l + r))。这就是圆锥的侧面积和全面积公式。注意，两个公式中，(l)均为圆锥的母线长，(r)为底面圆的半径。
有了圆锥的侧面积和全面积公式，我们做一道练习。
圆锥的底面直径是(80)厘米，母线长(90)厘米。求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积。请同学们按下暂停键思考(2)分钟。
同学们做出来了吗？我们画出三视图，圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径为圆锥的母线长(90)厘米，扇形的弧长为底面圆的周长(80\pi)厘米。知道扇形中的弧长、半径两个量，利用弧长公式可以求出圆心角。知道圆锥的底面直径和母线长，直接代入圆锥的全面积公式中计算即可。请看具体解答过程。
解，设侧面展开图的圆心角为(n)度，由弧长公式(l = \frac{n\pi r}{180})得(80\pi = \frac{n\pi×90}{180})，解得(n = 160)。
圆锥的全面积( = \pi rl + \pi r^{2} = \pi×40×90 + \pi×40^{2} = 5200\pi)平方厘米。
所以侧面展开图的圆心角为(160)度，圆锥的全面积为(5200\pi)平方厘米。
通过这道练习，我们熟悉了圆锥和展开图中的常见元素之间的关系，以及圆锥的侧面积和全面积的计算方法。
下面我们看一道与圆锥有关的生活中的问题。蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成。如果想用毛毡搭建(20)个底面积为(12)平方米，高为(3.2)米，外围高(1.8)米的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？(\pi)取(3.142)，结果保留整数。
这道题实质要计算制作(20)个这样的蒙古包至少要用多少平方米的毛毡，需要先计算出一个蒙古包的侧面积。观察蒙古包，发现蒙古包可以抽象成如图所示的几何体，它的上面部分是圆锥，下面部分是圆柱，因此蒙古包的全面积等于圆锥的侧面积加上圆柱的侧面积。