师：各位同学，大家好。今天我们要学习选修2 - 2的第二章第一节——变化的快慢与变化率。在现实生活中，我们常常关注周围事物的变化，比如每个家庭关心气温、超市货物价格的变化，每个国家关心经济、人口的变化。
（展示我国人口变化曲线图）这是我国自1850年到2010年的人口变化曲线图。请大家观察曲线变化情况，回答两个问题。
第一个问题，自1850年以来，我国人口的变化趋势是增还是减？从图像上看，自1850年起图像一直上升，说明我国人口在增加；若图像下降，则说明人口在减少。
第二个问题，请比较1849 - 1928以及1964 - 1982这两段时期我国人口变化的快慢情况。怎么比较呢？我们从图像的陡峭程度来分析。1849 - 1928这一段，图像增长较平缓，说明变化慢；1964 - 1982这一段，图像增长较陡峭，说明人口增长快。通过这个例子可知，研究函数变化既要关注变化快慢，也要关注增减性。我们刚才通过图像法，看图像升降及陡峭程度来判断，但正如华罗庚先生所说，“数缺形时少直观，形离数时难入微”。图像法虽直观，但可能有误差，有些函数还画不出图像，所以我们要从数的角度严谨刻画变化的增减与快慢。
用代数法刻画函数增减性，就是必修一学的函数单调性；用代数法刻画函数变化快慢，就是本节课要学的函数变化率。
来看问题一，某病人吃完退烧药，体温变化如图。请问体温在0 - 20分钟和20 - 30分钟哪段时间变化较快？有的同学可能通过图像陡峭程度快速判断出来了。现在思考，怎么从数的角度比较呢？0 - 20分钟，20分钟时间里体温由39℃下降到38.5℃，下降了0.5℃；20 - 30分钟，10分钟时间里体温也下降了0.5℃。下降相同温度，用时少的变化快。这里实际运用的是比较单位时间里体温的下降量，也就是体温的平均变化率。我们来计算一下每段时间的平均变化率。0 - 20分钟，体温相对时间的平均变化率为体温改变量比时间改变量，即((38.5 - 39)÷20 = -0.025)；20 - 30分钟，体温相对时间的平均变化率为((38 - 38.5)÷10 = -0.05)。
大家想想，为什么变化速率是负值？因为体温在下降，改变量是负值。改变量大小一个是0.025，一个是0.05，数值大的变化速率快，所以在20 - 30分钟时间段内，体温下降较快。
通过这题，我们既可以从图像陡峭程度判断，也能通过计算体温平均变化率从数值角度判断哪段时间函数变化快。这是问题一。
下面看第二个问题，这是物体运动问题。一个物体做非匀加速运动，位移 - 时间关系式是常见的三次函数形式，求物体在1 - 2秒内的平均速度。在物理学中，平均速度等于物体在这段时间内的位移除以时间长度。当(T_1 = 1)时，位移是(1)；(T_2 = 2)时，位移是(8)。位移改变量是(8 - 1)，时间改变量是(2 - 1)，所以平均速度是((8 - 1)÷(2 - 1) = 7)米每秒。
通过刚才两个问题，第一个问题算体温平均变化率，第二个问题算平均速度。它们的共同点是都用函数值的改变量比自变量的改变量求函数平均变化率。我们把这个发现推广到一般函数上，对于函数(y = f(x))，它在区间([x_1, x_2])上的平均变化率就是函数值改变量与自变量改变量之比。用公式表示为(\frac{\Delta y}{\Delta x})，(\Delta y)指函数值改变量，即(f(x_2) - f(x_1))；(\Delta x)指自变量改变量，即(x_2 - x_1)，两者比值就是平均变化率，它刻画函数值在区间([x_1, x_2])上的变化情况。这里有几个注意点：第一，函数值改变量(\Delta y)可大于(0)、小于(0)或等于(0)，取决于函数是增、减还是常函数；第二，自变量改变量(\Delta x)不能等于(0)，因为它在分母位置，等于(0)分式无意义。
学习了平均变化率概念，来看这道题。已知三个函数，一次函数、二次函数和三次函数，求它们在区间([0, 1])上的平均变化率。直接用平均变化率公式，带入后发现它们函数值改变量都是(1)，自变量改变量也都是(1)，所以平均变化率都是(1)。
现在我提个问题，这三个函数在([0, 1])区间上平均变化率一样，但从图像上能直观感受到它们在这个区间的变化趋势有差异。这说明平均变化率有不足，不能细致体现函数在区间上的差异，相同的值让我们看不出不同。所以还需要一个量，帮助我们更细致刻画函数在每个点的变化情况、变化快慢，这就是下面要学习的瞬时变化率。
在学习瞬时变化率前，看一个熟悉的问题，是刚才问题2的改版。物体仍做非匀加速运动，位移 - 时间公式不变，刚才求平均速度，现在求物体在(1)秒时刻的瞬时速度。在物理学实验中，我们怎么求瞬时速度呢？用光电门测物体运动瞬时速度，原理是运动物体在某一时刻附近极短时间里，平均速度趋于瞬时速度。当所选时间段足够小时，这个时间段可看成时间点，平均速度就无限趋于瞬时速度。这实际是数学中无限逼进取极限的思想。所以方法就是在(1)秒时刻附近不断取时间段并缩小，得到的平均速度就越趋于(1)秒时刻的瞬时速度。
明确方法后，我们来计算。看这个表格，我不断缩小时间段，从(1 - 2)秒、(1 - 1.1)秒、(1 - 1.01)秒……大家观察最后一列所求的平均速度，随着时间段缩小，平均速度越来越准确且稳定在某值附近。理想状态下，希望所选时间段越小越好，最后选(1 - (1 + \Delta t))。在这个极小时间段里，位移改变量(\Delta s = (\Delta t)^3 + 3(\Delta t)^2 + 3\Delta t)，位移改变量比时间间隔(\Delta t)得到平均速度。理想状态下，(\Delta t)无限趋于(0)时，((\Delta t)^2)和(3\Delta t)都无限趋于(0)，平均速度整体式子无限趋近于(3)。所以物体在(t = 1)秒时刻的瞬时速度是(3)米每秒。