师：各位同学，你们好。今天我们一起学习人民教育出版社A版必修五第二章第三节等差数列的前n项和第二课时的内容。本节课希望大家达成以下学习目标：一、进一步熟练掌握等差数列的前n项和公式；二、理解等差数列的性质，并会用它们解决相关问题；三、会利用等差数列前n项和公式研究$S_n$的最值；四、通过本节课培养大家逻辑推理、数学运算等核心素养与能力。本节课围绕三个例题展开，下面我们依次来看。
首先看例2，已知等差数列${a_n}$，它的前十项和是310，前二十项和是1220。由这些条件能否确定这个等差数列的前n项和公式呢？大家思考一下，我们该如何求解这个问题？
想确定等差数列的前n项和公式，我们在第一课时学过，公式主要有两种表达形式，分别是$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，以及$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$。要确定前n项和公式，对第一个式子而言，就是要找到$S_n$与$a_1$和$a_n$的关系；对第二个式子而言，就是要找到$S_n$与$a_1$和$d$的关系，通过求解未知数来解决$S_n$的问题。所以本题我们采用基本量法，将已知条件代入求解$S_n$的具体表达式，通过解方程的思想来求解未知量。
已知$S_{10} = 310$，$S_{20} = 1220$。我们不妨选择求和公式的第二个式子，将这两个已知条件代入$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$中，进而得到关于$a_1$和$d$组成的二元一次方程组，大家可以在草稿纸上通过加减消元计算$a_1$和$d$的值。通过计算可得$a_1 = 4$，$d = 6$，将$a_1$和$d$代入$S_n$的表达式，得到这个等差数列前n项和的表达式$S_n = 3n^2 + n$，这是一个以n为未知数的二次函数，本题解答完毕。
有的同学可能有别的解法，比如，我们将已知条件代入等差数列的前n项和公式，刚刚选择的是第二个式子，那第一个式子能否也解决$S_n$表达式的求解问题呢？我们不妨尝试一下。
同样，将$S_{10}$与$S_{20}$代入等差数列求和公式的第一个式子，$S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 310$，可得$a_1 + a_{10} = 62$，记为①式；$S_{20} = \frac{20}{2}(a_1 + a_{20}) = 1220$，可得$a_1 + a_{20} = 122$，记为②式。用②式减去①式，得到$10d = 60$，算出$d = 6$。再将$d = 6$代入①式或者②式，可得到首项$a_1 = 4$。知道了首项和公差，就能算出$S_n$的表达式$S_n = 3n^2 + n$。
由此可见，两种不同的解答方式都能准确求出等差数列的前n项和。通过本题解答，我们能得到哪些启示呢？下面我们一起对本题做归纳小结。
在等差数列的求和问题中，共涉及$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$五个基本量。由等差数列的通项公式和前n项和公式可知，任意给定三个基本量，都能完成对余下两个基本量的求解，这就是“知三求二”。通过本题对等差数列前n项和的求解过程，我们发现$S_n$的求解与方程建立了联系，也就是通过解方程完成对基本量的求解，希望大家体会方程思想的运用。
接下来看例3，已知数列${a_n}$的前n项和$S_n = n^2 + \frac{1}{2}n$，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
大家仔细读题会发现，这个题目涉及三问：第一，求数列的通项公式；第二，判断这个数列是否是等差数列；第三，算出它的首项和公差。这三问都围绕数列的通项公式展开，因为要判断一个数列是否是等差数列，需从通项公式入手，通过对通项公式的判断来完成，进而求出首项与公差。所以本题核心是求解数列通项公式$a_n$。
题目给出的已知条件是$S_n$，要由$S_n$求$a_n$，这是对$S_n$与$a_n$关系的探索。对任何一个数列${a_n}$，它的前n项和$S_n$都可表示为$a_1 + a_2 + \cdots + a_n$。要找到$S_n$与$a_n$的关系，式子中除了$S_n$和$a_n$，还有$a_1 + a_2 + \cdots + a_{n - 1}$这$n - 1$项。要完成对$S_n$与$a_n$关系的探索，就必须消掉这$n - 1$项。大家知道$a_1 + a_2 + \cdots + a_{n - 1}$是什么吗？它是这个数列的前$n - 1$项和。因为数列下标必须是正整数，所以这里$n$必须大于1。
要算出$a_n$，自然会想到用$S_n - S_{n - 1}$消掉前$n - 1$项和，从而求解$a_n$。当$n > 1$时，$a_n = S_n - S_{n - 1}$。已知$S_n = n^2 + \frac{1}{2}n$，$S_{n - 1}$相当于用$n - 1$替换$S_n$中的$n$，得到$S_{n - 1} = (n - 1)^2 + \frac{1}{2}(n - 1)$。大家可以在草稿纸上对$a_n = S_n - S_{n - 1}$进行化简，最后得到$a_n = 2n - \frac{1}{2}$，这是一个以n为未知数的一次函数。
此时大家思考，$a_n = 2n - \frac{1}{2}$能代表数列${a_n}$的所有项吗？问题在于，$a_n = 2n - \frac{1}{2}$这个式子的前提是$n > 1$，对于第一项是否满足并不清楚。数列的首项$a_1$实际上就是$S_1$，计算可得$S_1 = \frac{3}{2}$，刚好满足$a_n$的表达式。所以可以把$a_1$的值放入这个表达式，说明数列${a_n}$对任意正整数都满足该表达式，即数列${a_n}$的通项公式为$a_n = 2n - \frac{1}{2}$。
由这个通项公式能判断出这个数列是否为等差数列吗？完全可以。我们在等差数列第一课时学过，如果某一个数列${a_n}$的通项公式可以表示成$a_n = pn + q$（$p \neq 0$）的一次函数形式，那么数列${a_n}$一定是等差数列；当$p = 0$时，它是常数列，也是等差数列。所以可以断定数列${a_n}$是等差数列，首项为$\frac{3}{2}$，公差为2。