师：同学们好，欢迎来到课堂。上几节课，我们学习了平行四边形的性质和判定，今天在此基础上继续学习相关知识。通过本节课，希望大家能够说出平行线等分线段定理及其推论，说出三角形中位线的性质定理，并能应用这个定理证明或解决有关问题。同时，尽力探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化与划归的思想。此外，通过真实贴近生活的素材和适当的问题情境，激发学习数学的热情和兴趣，体验数学活动的探索性和创造性。请同学们准备好笔、三角板和练习本，下面开始本节课的学习。
在学习新课之前，我们一起回顾平行四边形有哪些性质和判定。大家大声和我一起说。平行四边形的定义是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，它既是判定，也是性质。那平行四边形还有哪些性质呢？从边来看，性质一：平行四边形的对边相等；从角来看，性质二：平行四边形的对角相等；从对角线来看，性质三：平行四边形的对角线互相平分。
我们再来看看平行四边形有哪些判定方法。定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。定理一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。定理二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。还有其他方法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
通过上面的知识，我们来解决问题。看例一，已知如图，直线(L_1)、(L_2)、(L_3)互相平行，(A_1C_1)平行(AC)。直线(AC)和直线(A_1C_1)分别交直线(L_1)、(L_2)、(L_3)于点(A)、(B)、(C)和点(A_1)、(B_1)、(C_1)，且(AB = BC)。求证(A_1B_1 = B_1C_1)。如图，因为(L_1)、(L_2)、(L_3)互相平行，(A_1C_1)平行(AC)，所以这两个四边形都是平行四边形。根据平行四边形对边相等，可得(A_1B_1 = AB)，(B_1C_1 = BC)，而(AB = BC)，所以(A_1B_1 = B_1C_1)。
同学们，当(A_1C_1)不平行(AC)时，(A_1B_1)和(B_1C_1)还相等吗？
生：相等。
师：对，我们一起来看变式。已知如图，直线(L_1)、(L_2)、(L_3)互相平行，(A_1C_1)不平行(AC)。直线(AC)和直线(A_1C_1)分别交直线(L_1)、(L_2)、(L_3)于点(A)、(B)、(C)和点(A_1)、(B_1)、(C_1)，且(AB = BC)，求证(A_1B_1 = B_1C_1)。那怎样证明？通过刚刚学习的例一对大家有什么启发？
生：可以通过构造平行四边形和全等三角形来解决。
师：对，证明过程如下：过点(B_1)作(EF)平行于(AC)，分别交直线(L_1)、(L_3)于点(E)、(F)。根据例一得(EB_1 = B_1F)。同学们看，在(\triangle AEB_1)和(\triangle CFB_1)中，有一组内错角相等和一组对顶角相等。这时我们可以通过角边角证明(\triangle AEB_1)全等于(\triangle CFB_1)。根据全等三角形对应边相等得(A_1B_1 = B_1C_1)。通过例一和变式，我们知道证明线段相等问题，常常构造平行四边形和全等三角形来解决。根据刚刚的证明过程，大家能得到怎样的结论呢？同学们可以尝试说一说。
生：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
师：对，这就是平行线等分线段定理。大家能给出它的几何语言吗？在练习本上写一写。写好了吗？那我们一起来给出它的几何语言：因为直线(L_1)平行于(L_2)平行于(L_3)，(AB = BC)，所以(A_1B_1 = B_1C_1)。那如果一组平行线不止(3)条，还有这样的结论吗？
生：有。
师：对，我们仍可以用上面的方法去证明，课后同学们可以尝试做一做。
下面我们向左平移(A_1C_1)，使(A_1)与(A)重合，交(L_2)、(L_3)于点(E)、(C)。原直线(AC)交(L_2)、(L_3)于点(D)、(B)，得到(\triangle ABC)。如图，(L_1)经过(AB)中点，根据平行线等分线段定理得(L_1)平分(AC)。这样可得下面推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。那大家能给出几何语言吗？我们一起来给出几何语言：在(\triangle ABC)中，因为(DE)平行(BC)，(AD = DB)，所以(AE = EC)。同学们，得到本推论体现了怎样的数学思想呢？
生：体现了一般到特殊的思想。
师：对，在这里线段(DE)两端是(\triangle ABC)两边中点。那我们把线段(DE)叫做(\triangle ABC)的中位线。什么是三角形中位线呢？连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。如图，在(\triangle ABC)中，(D)、(E)分别是(AB)、(AC)的中点，连接(DE)，则线段(DE)就称为(\triangle ABC)的中位线。中位线、中线定义有两层含义：一、如果(D)、(E)分别为(AB)、(AC)的中点，那么(DE)为(\triangle ABC)的中位线；二、如果(DE)为(\triangle ABC)的中位线，那么(D)、(E)分别为(AB)、(AC)的中点。同学们想一想，一个三角形有几条中位线？能画出来吗？动手画一画。
（学生动手画）
师：画好了吗？如图，有三条，分别是线段(DE)、(DF)、(EF)。大家还记得前面学习过和三角形顶点有关的线段吗？
生：三角形中线。
师：对，什么是三角形的中线呢？
生：连接一顶点和它对边中点的线段。
师：如图，点(F)是(BC)的中点，(AF)就是(\triangle ABC)的一条中线。三角形的中位线和三角形的中线一样吗？
生：不一样。
师：对，如图，三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，平分三角形的面积，不与任何一边平行；三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，不经过三角形的顶点，不平分三角形的面积。请大家猜想三角形中位线(DE)与(BC)有什么样的关系呢？可以动手量一量、猜一猜。
（学生操作）
师：做好了吗？下面和老师一起来验证一下。在(\triangle ABC)中画出线段(AB)、(AC)的中点(D)、(E)，连接(DE)，分别度量(\angle DBC)、(\angle ADE)的大小和线段(DE)、(BC)的长度。同学们，发现了什么？