师：同学们好，本节课我们要学习初中数学人教版八年级下册第16章二次根式小结的第一课时。首先，我们大致回顾一下本章所学内容。本章我们学习了二次根式，包括它的概念、性质和运算。
在概念方面，我们要了解二次根式的定义及相关概念。性质方面，学习了双重非负性，以及平方在根号外面和平方在根号里面的两个公式。运算部分，则学习了二次根式的乘除运算、加减运算以及混合运算。下面，我们一起来复习二次根式的定义。
提到二次根式，同学们要想到形如$\sqrt{A}$（$A\geq0$）的式子，我们称它为二次根式。要使二次根式有意义，其被开方数必须大于或等于0。下面来看典型例题。例一，找出下列各根式中是二次根式的。
先看第一个，$\sqrt[3]{27}$，这里根指数是3，题目问的是二次根式，所以它不符合。第二个，$\sqrt{-4}$，二次根式被开方数要大于或等于0，这里是负数，无意义，所以也不是。第三个，$\sqrt{4}$，$4\geq0$，它是二次根式。第四个，$\sqrt{a^{2}+2}$，因为$a^{2}$是非负数，加2后一定是正数，所以它是二次根式。
再看这个二次根式，$\sqrt{a^{2}+2a + 1}$，这是一个二次三项式，且是完全平方式，可以改写成$\sqrt{(a + 1)^{2}}$。因为平方是非负数，满足大于等于0，所以它是二次根式。最后一个，已知$a\lt\frac{1}{2}$，由此可判断$2a - 1\lt0$，所以它不是二次根式。通过这道题，相信同学们能体会到，判断一个根式是否为二次根式，要确保被开方数大于等于0，且根指数一定是2。
好，接下来看这样一道例题，$x$为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
第一题，$x$既出现在被开方数里，又出现在分母上。所以$x$要满足$x\geq0$，同时分母$b - \sqrt{x}\neq0$。分别求解，$x\geq0$本身就是这样，对于$b - \sqrt{x}\neq0$，解得$x\neq b^{2}$。所以这道题最终答案是$x\geq0$且$x\neq b^{2}$，这里“且”字很重要，不能丢。
好，再看第二题。$x$出现在被开方数里，所以$x^{2}+1\geq0$，$x$还出现在底数位置，是0次幂，所以底数$x - 6\neq0$。先看$x^{2}+1\geq0$，$x$取任意实数都能满足这个不等式。再看$x - 6\neq0$，解得$x\neq6$。两者要同时满足，所以这道题最终答案是$x\neq6$。通过这道题，相信同学们对二次根式有了更深刻认识，作为二次根式，一定要满足被开方数大于等于0才有意义。下面我们来看二次根式的性质。
首先回顾它的双重非负性，即被开方数$a\geq0$，且二次根式本身$\sqrt{a}\geq0$。第二，平方在根号外面时，当$a\geq0$，$(\sqrt{a})^{2}=a$，这个公式反过来也成立，即$a = (\sqrt{a})^{2}$（$a\geq0$）。第三，平方出现在根号内部时，要先化成绝对值的形式，再根据绝对值里面数的正负情况去绝对值化简。下面来看典型题。
第一题，这个式子成立的条件是，看到根号下出现平方形式，想到相关公式，先将它化成绝对值形式，得到$\vert a - 1\vert = a$。把$a - 1$看成一个数，这个式子表示一个数的绝对值等于它本身，这样的数是非负数，所以$a - 1\geq0$，解这个不等式得$a\geq1$，因此这道题选D。
接下来看这道练习题，这是一道化简题。观察根号下被开方数是二次三项式，是完全平方式，可改写成$\sqrt{(a - 1)^{2}}$，根据公式可化成$\vert a - 1\vert$。要去绝对值，就得看$a - 1$的正负情况。从条件$a\lt1$入手，因为$a\lt1$，所以$a - 1\lt0$，是负数，去掉绝对值要在前面添负号。然后分子分母同时约去$a - 1$这个整体就得到最后答案。同学们思考一下，这道题求$a - 1$范围时，只用了$a\lt1$这个条件，题目中为什么还要提$a\neq0$呢？这是为了保证题目本身有意义，以及最终答案也有意义。这道题最终答案是$-\frac{1}{a}$。
我们再来看例2，将下列各数写成一个数的平方的形式。这让我们想到公式，当$a\geq0$时，$a = (\sqrt{a})^{2}$。所以第一题，$x^{2}$本身是非负数，$x^{2}+1$一定是正数，在它外面套上根号再写成平方形式，即$x^{2}+1 = (\sqrt{x^{2}+1})^{2}$。
再看第二题，$a - 1$的正负不清楚，所以需要分类讨论。当$a\geq1$时，它可以改写成平方形式；当$a\lt1$时，不能改写成一个数平方的形式。下面来看这道练习题，请在实数范围内分解因式。
通过观察，$a^{4}$可写成$(a^{2})^{2}$，$9$可看作$3^{2}$，利用平方差公式展开得到$(a^{2} + 3)(a^{2} - 3)$。同学们看，$a^{2} - 3$还能在实数范围内再利用平方差公式展开，因为$3$可看作$(\sqrt{3})^{2}$，所以继续展开得到$(a^{2} + 3)(a + \sqrt{3})(a - \sqrt{3})$。
好，再看第二小题，要分解因式，把这里的$x$和$y$都改写成平方形式，即改写成$(\sqrt{x})^{2}$和$(\sqrt{y})^{2}$，这样就能凑出完全平方公式，利用完全平方公式进行分解因式。
好，接下来看第三个知识点，二次根式的相关概念。首先回顾最简二次根式，它要满足两个特征：一是被开方数不含能开得尽方的因数或因式；二是被开方数不含分母。第二，同类二次根式的判断，分两步，先把它们都化成最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则是同类二次根式。第三，代数式，用基本运算符号（加、减、乘、除等）把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式，单独的数字、单独的字母也属于代数式。下面来看典型例题。