师：同学们好，今天我们继续学习人民教育出版社七年级下册第五章第三节的后续内容。常言道，耳听为虚，眼见为实。但我们所看到的事物，真的是客观真实的存在吗？我们来看一张图片。观察下图，你认为左图中间的红色圆圈大，还是右图中间的绿色圆圈大？同学们，有答案了吗？有同学感觉红色圆圈大，是这样吗？我们继续观察一下。
实际上，两个圆圈一样大。这说明仅凭观察得到的结论不一定正确。接下来看计算实验，请大家看第2小题。某学习小组发现，当(n)等于(0)、(1)、(2)、(3)时，代数式(n^2 - n + 11)的值都是质数。于是，他们得到结论：对于所有自然数，(n^2 - n + 11)的值都是质数。大家认同这个结论吗？我们先来计算一下，请在表格里填空。当(n = 0)时，谁会计算代数式(n^2 - n + 11)的值？
生：等于(11)。
师：正确，它是质数吗？
生：它是质数。
师：当(n = 1)，赶紧计算一下，所求代数式的值又是多少呢？
生：还是(11)。
师：所以同样是质数。我们接下来计算，当(n = 2)，结果是多少？
生：是(13)。
师：它还是质数吗？
生：还是质数。
师：当(n = 3)呢？
生：所求为(17)。
师：仍然是质数。于是该小组得到结论，对于所有自然数，(n^2 - n + 11)的值都是质数，大家同意吗？这样，我们继续给(n)取另外一些值计算一下，当(n)等于(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)的时候，大家能求出对应的代数式的值吗？请计算一下。
（同学们计算后）
师：通过计算，我们发现当(n)取(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)时，所求的对应代数式的值同样都是质数。到这，我们是不是可以认为这个学习小组的结论正确呢？同学们，我们再耐心计算一下，当(n = 11)时，代数式的值是多少呢？
生：(121)。
师：非常棒。我们知道(121 = 11×11)，所以它不是质数。那么这个例子告诉我们什么呢？由观察、实验得到的感性认识是科学发现的开始阶段，但只凭观察、有限次的实验或者计算，不一定能得出正确的理论。那怎样说明结论的正确呢？在数学里，我们需要将猜想的结论进行证明，只有推理论证才是正确判断的重要依据。为了避免认识上的片面性，我们需要从感性认识上升到理性认识。既然证明这么重要，那什么是证明呢？请看屏幕。在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明。请同学们注意，证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实等。下面我们来尝试完成例一的填空。例一，在下面的括号内填上推理的依据。如图，(∠1 = ∠2)，求证(AB\parallel CD)。
我们来看一下它的证明过程，因为(∠1 = ∠2)（这是已知条件），(∠3 = ∠2)。在图中观察一下，发现(∠3)和(∠2)构成对顶角，理由就是对顶角的性质——对顶角相等。所以(∠3 = ∠1)。而(∠3)和(∠1)在图中构成了同位角，由平行线的判定方法得到(AB\parallel CD)，理由就是同位角相等，两直线平行。
在前面我们学习过一些图形的性质，都是真命题，其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“对顶角相等”，都可以作为推理证明的依据，但它们也不尽相同。下面老师来介绍两个概念。公理是人类理性的不证自明的基本事实，也就是说数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，不需要再加证明，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。公理是用来推导其他命题的起点，欧几里得的《几何原本》中就规定了一些公理。
同学们，你们还记得我们学过哪些公理吗？
生：两点确定一条直线。
师：真棒，还有“两点之间线段最短”。那么我们还学习过平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。我们还学习过平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。同样，我们学习过平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。
接下来我们再来认识一个概念——定理。什么是定理呢？有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题，比如由公理推导、演绎、证明为正确的结论的命题或公式。定理也可以作为继续推理的依据。同学们，你还记得我们学过哪些定理吗？老师来给大家列举一下，我们学过的定理有：补角的性质——同角或等角的补角相等；余角的性质——同角或等角的余角相等；对顶角的性质——对顶角相等；垂线的性质两个，第一个“过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”，第二个“垂线段最短”。当然我们学习过的定理还有很多，在这里就不一一列举了。下面我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例来说明什么是证明，请看屏幕。
例2，已知如图，(b\parallel c)，(a⊥b)。求证(a⊥c)。我们来分析一下已知条件，直线(a)垂直于直线(b)，就是说直线(a)与(b)相交所成的四个角中，任意一个角等于(90°)，不妨令(∠1 = 90°)，理由就是垂直的定义。又已知(b\parallel c)这个条件，接下来我们就要寻找相关的角。找一找，你找到与(∠1)相关的角了吗？
生：可以找到(∠1)的同位角(∠2)。
师：很好，由平行线的性质定理得到(∠2 = ∠1 = 90°)，理由就是两直线平行，同位角相等。而(∠2 = 90°)就可以由垂直的定义得到(a⊥c)。下面我们来书写一下证明过程。
因为(a⊥b)（已知），所以(∠1 = 90°)（垂直的定义）。又(b\parallel c)（已知），所以(∠2 = ∠1 = 90°)（两直线平行，同位角相等），所以(a⊥c)（垂直的定义），这个命题就得到了证明。回过头来反思一下，本题由(b\parallel c)这个条件还可以找到与(∠1)相关的其他角吗？譬如(∠1)的内错角(∠3)，同样也可以得到(∠3 = 90°)，从而命题得证。这个证明方法课下请同学们补充证明一下。