师：同学们，你们好，今天我们一起来学习初中数学北师大版八年级上册第四章第四节一次函数的应用第一课时。本节课的学习目标是：一、会确定正比例函数的表达式；二、会确定一次函数的表达式。我们先来回顾一下一次函数和正比例函数的相关知识。一次函数的一般形式是(y = kx + b)，其中(k\neq0)。一次函数的图像是什么形状呢？是一条直线。正比例函数(b = 0)，经过点((0,0))，也就是说，正比例函数一定会经过原点。点在直线(y = kx + b)上说明什么呢？这个问题是想表达点的横纵坐标满足一次函数的表达式，即我们可以把这个点的横坐标、纵坐标代入(y = kx + b)这个表达式中，能够使等号成立。
接下来，我们看一个例子。某物体沿一个斜坡下滑，它的速度(v)与其下滑时间(t)之间的关系如图所示。第一问，写出(v)与(t)之间的关系式；第二问，下滑(3)秒时物体的速度是多少？我们一起来分析这个函数的图像。我们发现图像是一条直线且经过原点，所以这条直线代表的是正比例函数。同时，纵轴代表速度(v)，横轴代表时间(t)，所以(v)与(t)之间的关系就是正比例函数关系。
那么在解决第一问，写出(v)与(t)之间的关系式时，我们可以设(v = kt)（(k)为常数，且(k\neq0)）。再观察图像，我们发现点((2,5))在直线上，所以把((2,5))代入所设关系式中，得到(5 = 2k)，解得(k = 2.5)。然后把(k = 2.5)代入(v = kt)，可得(v)与(t)的关系式为(v = 2.5t)。
再看第二问，下滑(3)秒时物体的速度是多少？这里的(3)秒代表下滑时间(t)，也就是求当(t = 3)时，对应的速度(v)是多少。把(t = 3)代入(v = 2.5t)，可得(v = 2.5×3 = 7.5)米每秒。所以下滑(3)秒时，物体的速度是(7.5)米每秒。
根据刚才解决的这个问题，同学们想一想，确定正比例函数的表达式需要几个条件？通过这个例子我们知道，确定正比例函数的表达式只需要一个条件，即在图像上找一个点的坐标，代入所设关系式中，就可以求得正比例函数的表达式。
请同学们根据刚才的例子，自己尝试完成第一题：求右图函数表达式。
师：我们一起来观察图像，发现这条直线经过原点(O)，所以(y)与(x)之间的关系是正比例函数关系。还发现点(( - 1,2))在直线上。类比刚才解决问题的过程，我们设函数关系式为(y = kx)，把点(( - 1,2))代入可得(2 = - k)，所以(k = - 2)。再把(k = - 2)代回到(y = kx)中，得到(y = - 2x)，这样就求出右图的函数表达式了。
下面，请同学们类比刚才的方法，完成第2题：若正比例函数的图像经过点(A( - 2,3))，写出这个函数表达式。
生：题目已经明确是正比例函数，所以设函数表达式为(y = kx)。因为它经过点(A( - 2,3))，把(( - 2,3))代入(y = kx)可得(3 = - 2k)，解得(k = - \frac{3}{2})。所以这个函数表达式为(y = - \frac{3}{2}x)。
师：同学们，我们刚才探究了正比例函数表达式的确定方法。那如何确定一次函数的表达式呢？确定一次函数的表达式是否可以类比确定正比例函数表达式的过程来解决呢？如若一次函数(y = kx + b)（(k\neq0)）的图像经过点(A(0,3))，能求出一次函数表达式吗？
生：把(A)点坐标代入解析式，只能求出(b = 3)，求不出(k)的值，所以不能求出一次函数的表达式。
师：对，这就说明只有一个条件是不能求出一次函数表达式的。那确定一次函数表达式需要几个条件，或者说几个点的坐标呢？
生：猜想需要两个条件，一般来说需要两个点的坐标。
师：没错，当然有些时候条件的表述不一定是以坐标的形式进行展示，这个我们通过后续问题解决再体会。下面我们以两道题为例，体会一次函数表达式的确定方法及过程。
例一，在弹性限度内，弹簧的长度(y)是所挂物体质量(x)的一次函数。一根弹簧不挂物体时长(14.5)厘米，当所挂物体的质量为(3)千克时，弹簧长(16)厘米。请写出(y)与(x)之间的关系式，并求当所挂物体的质量为(4)千克时，弹簧的长度。同学们可以先自行尝试一下解决这道问题。
师：我们一起来分析这道题。第一句话表明弹簧的长度(y)和所挂物体质量(x)之间是一次函数关系。第二句话，一根弹簧不挂物体时长(14.5)厘米，用数学语言表达就是当(x = 0)时，(y = 14.5)。下一句，当所挂物体的质量为(3)千克时，弹簧长(16)厘米，用数学语言表示就是当(x = 3)时，(y = 16)。所以题目给了我们两组条件。
在解决求(y)与(x)之间的关系式时，我们先设(y = kx + b)（(k\neq0)）。根据刚才的分析，把(x = 0)，(y = 14.5)代入(y = kx + b)，再把(x = 3)，(y = 16)代入(y = kx + b)，可以得到两个方程：(14.5 = b)，(16 = 3k + b)。解这两个方程可得(b = 14.5)，(k = 0.5)。所以在弹性限度内(y = 0.5x + 14.5)，这样就求出(y)与(x)之间的关系式了。
后面一问，求当所挂物体的质量为(4)千克时弹簧的长度，转化成数学语言就是求当(x = 4)时，(y)等于多少。把(x = 4)代入(y = 0.5x + 14.5)，可得(y = 0.5×4 + 14.5 = 16.5)厘米，即物体质量为(4)千克时，弹簧长度为(16.5)厘米。
这道题是以实际问题为例确定两个变量之间的函数关系式。通过解决问题的过程，我们发现和确定正比例函数关系式的过程基本类似，只不过确定一次函数的过程需要两个条件。